Funkcija (matematika)

Funkcija ili preslikavanje je jedan od najvažnijih matematičkih pojmova koji predstavlja preslikavanje članova jednog skupa (domena) u drugi (kodomena). Pri tome preslikavanje mora biti jedinstveno, tj. svaki član domene se preslikava u točno jedan član kodomene.

Definicija

Funkcija ili preslikavanje je uređena trojka Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (D,K,f)} koja sadrži skupove $D$, $K$ i neko pravilo Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f\colon D\to K} po kojem se svakom članu Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x\in D} pridružuje jedinstveni član Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle y\in K} tako da je $y=f(x)$.

Skup $D$ se naziva područje definicije ili domena funkcije $f$, a skup $K$ područje vrijednosti ili kodomena funkcije $f$. Član domene $x$ je nezavisna varijabla ili argument funkcije $f$, a član kodomene $y$ je zavisna varijabla funkcije $f$.

Želimo li istaknuti skupove na kojima funkcija izvršava pridruživanje, pišemo Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f\colon D\to K} . Želimo li istaknuti pravilo po kojem funkcija djeluje, pišemo Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x\mapsto y=f(x)} .

Jednakost funkcija

Funkcije $f$ i $g$ su jednake, što zapisujemo sa $f=g$, ako vrijedi:

1. imaju jednake domene, tj. Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle D_{f}=D_{g}} ;
2. imaju jednako pravilo preslikavanja tj. Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f(x)=g(x),\forall x\in A} .

Na primjer, funkcije $f(x)={\frac {x^{2}}{x}}$ i Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle g(x)=x} nisu jednake. One imaju jednako pravilo pridruživanja, jer, kada se kod $f(x)$ skrati razlomak, dobijemo Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f(x)=x} .
Međutim, nemaju jednaku domenu, jer funkcija $f(x)$ nema vrijednost za $x=0$. Dijeljenje s nulom nije definirano, pa je domena $D_{f}=\mathbb {R} \backslash \left\{0\right\}$, skup realnih brojeva bez nule. Domena Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle D_{g}=\mathbb {R} } , čitav skup realnih brojeva.

Klasifikacija funkcija

Funkcija može imati mnogo svojstava, ali neka od važnijih su injektivnost, surjektivnost i bijektivnost.

Injekcija ili 1-1 preslikavanje je funkcija takva da ne postoje dva različita člana domene koja se preslikavaju u isti član kodomene. Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo injektivnosti i da je injektivna.
Matematički zapisujemo, Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f(x)=f(x')\Rightarrow x=x',\forall x\in D_{f},\forall x'\in D_{f}}
ili ekvivalentnu tvrdnju $\forall x,x'\in D{\mbox{ takve da }}x\neq x',f(x)\neq f(x')$.

Slika funkcije f je skup članova iz kodomene na koje se preslikava neki član domene. Sliku funkcije f označavamo s Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_f} .

Surjekcija ili preslikavanje na je funkcija čija slika je jednaka cijeloj kodomeni Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle R_{f}=K} .
Drugim riječima, za svaki član kodomene postoje jedan ili više članova iz domene koji se u njega preslikavaju tj. ima bar jednu prasliku.
Matematički zapis: Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall y \in K \; \exists x \in D, f(x)=y} . Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo surjektivnosti i da je surjektivna.

Bijekcija ili 1 na 1 korespondencija ili obostrano jednoznačno preslikavanje je funkcija koja je injektivna i surjektivna. Kažemo još da je funkcija bijektivna i da ima svojstvo bijektivnosti.

Primjer bijekcije je funkcija identiteta, odnosno funkcija Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle i_{X}:X\to X} definirana s Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle i_{X}(x)=x,\forall x\in X} .

Graf funkcije

Graf funkcije $f(x)=x^{2}$

Graf funkcije $f$ jest skup točaka $(x,y)$ ravnine Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} za koje vrijedi $y=f(x)$ te čine krivulju. Formalnije, to je skup $G(f)\subseteq \mathbb {R} ^{2},G(f)={\big \{}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x\in D_{f},y=f(x){\big \}}$.

Vidi još

• Funkcija identiteta
• Konstantna funkcija
• Nulfunkcija
• Linearna funkcija
• Kvadratna funkcija
• Kubna funkcija
• Polinomna funkcija
• Eksponencijalna funkcija
• Trigonometrijske funkcije