Funkcija (matematika)

Funkcija ili preslikavanje je jedan od najvažnijih matematičkih pojmova koji predstavlja preslikavanje članova jednog skupa (domena) u drugi (kodomena). Pri tome preslikavanje mora biti jedinstveno, tj. svaki član domene se preslikava u točno jedan član kodomene.

Definicija

Funkcija ili preslikavanje je uređena trojka [math]\displaystyle{ (D, K, f) }[/math] koja sadrži skupove [math]\displaystyle{ D }[/math], [math]\displaystyle{ K }[/math] i neko pravilo [math]\displaystyle{ f\colon D \to K }[/math] po kojem se svakom članu [math]\displaystyle{ x \in D }[/math] pridružuje jedinstveni član [math]\displaystyle{ y \in K }[/math] tako da je [math]\displaystyle{ y=f(x) }[/math].

Skup [math]\displaystyle{ D }[/math] se naziva područje definicije ili domena funkcije [math]\displaystyle{ f }[/math], a skup [math]\displaystyle{ K }[/math] područje vrijednosti ili kodomena funkcije [math]\displaystyle{ f }[/math]. Član domene [math]\displaystyle{ x }[/math] je nezavisna varijabla ili argument funkcije [math]\displaystyle{ f }[/math], a član kodomene [math]\displaystyle{ y }[/math] je zavisna varijabla funkcije [math]\displaystyle{ f }[/math].

Želimo li istaknuti skupove na kojima funkcija izvršava pridruživanje, pišemo [math]\displaystyle{ f\colon D \to K }[/math]. Želimo li istaknuti pravilo po kojem funkcija djeluje, pišemo [math]\displaystyle{ x \mapsto y=f(x) }[/math].

Jednakost funkcija

Funkcije [math]\displaystyle{ f }[/math] i [math]\displaystyle{ g }[/math] su jednake, što zapisujemo sa [math]\displaystyle{ f=g }[/math], ako vrijedi:

1. imaju jednake domene, tj. [math]\displaystyle{ D_f = D_g }[/math];
2. imaju jednako pravilo preslikavanja tj. [math]\displaystyle{ f(x) = g(x), \forall x \in A }[/math].

Na primjer, funkcije [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{x^2}{x} }[/math] i [math]\displaystyle{ g(x) = x }[/math] nisu jednake. One imaju jednako pravilo pridruživanja, jer, kada se kod [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] skrati razlomak, dobijemo [math]\displaystyle{ f(x) = x }[/math].
Međutim, nemaju jednaku domenu, jer funkcija [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nema vrijednost za [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math]. Dijeljenje s nulom nije definirano, pa je domena [math]\displaystyle{ D_f = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\} }[/math], skup realnih brojeva bez nule. Domena [math]\displaystyle{ D_g = \mathbb{R} }[/math], čitav skup realnih brojeva.

Klasifikacija funkcija

Funkcija može imati mnogo svojstava, ali neka od važnijih su injektivnost, surjektivnost i bijektivnost.

Injekcija ili 1-1 preslikavanje je funkcija takva da ne postoje dva različita člana domene koja se preslikavaju u isti član kodomene. Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo injektivnosti i da je injektivna.
Matematički zapisujemo, [math]\displaystyle{ f(x) = f(x') \Rightarrow x = x',\forall x \in D_f ,\forall x' \in D_f }[/math]
ili ekvivalentnu tvrdnju [math]\displaystyle{ \forall x,x'\in D \mbox{ takve da } x \ne x', f(x) \ne f(x') }[/math].

Slika funkcije f je skup članova iz kodomene na koje se preslikava neki član domene. Sliku funkcije f označavamo s [math]\displaystyle{ R_f }[/math].

Surjekcija ili preslikavanje na je funkcija čija slika je jednaka cijeloj kodomeni [math]\displaystyle{ R_f = K }[/math].
Drugim riječima, za svaki član kodomene postoje jedan ili više članova iz domene koji se u njega preslikavaju tj. ima bar jednu prasliku.
Matematički zapis: [math]\displaystyle{ \forall y \in K \; \exists x \in D, f(x)=y }[/math]. Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo surjektivnosti i da je surjektivna.

Bijekcija ili 1 na 1 korespondencija ili obostrano jednoznačno preslikavanje je funkcija koja je injektivna i surjektivna. Kažemo još da je funkcija bijektivna i da ima svojstvo bijektivnosti.

Primjer bijekcije je funkcija identiteta, odnosno funkcija [math]\displaystyle{ i_X :X \to X }[/math] definirana s [math]\displaystyle{ i_X(x) = x,\forall x \in X }[/math].

Graf funkcije

Graf funkcije [math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math]

Graf funkcije [math]\displaystyle{ f }[/math] jest skup točaka [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] ravnine [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math] za koje vrijedi [math]\displaystyle{ y=f(x) }[/math] te čine krivulju. Formalnije, to je skup [math]\displaystyle{ G(f) \subseteq \mathbb{R}^2, G(f) = \big\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \in D_f , y=f(x)\big\} }[/math].

1. Preusmjeri Predložak:Clear

Vidi još

• Funkcija identiteta
• Konstantna funkcija
• Nulfunkcija
• Linearna funkcija
• Kvadratna funkcija
• Kubna funkcija
• Polinomna funkcija
• Eksponencijalna funkcija
• Trigonometrijske funkcije