Kvadratna funkcija je polinomna funkcija gdje je najveća potencija Najčešće se zapisuje u obliku
graf kvadratne funkcije u koordinatnom sustavu je parabola.
Na primjer,
je kvadratna funkcija, čiji je graf prikazan je na slici desno.
Nultočke funkcije
U analizi osobina neke funkcije uobičajeno je najprije naći nultočke funkcije, odn. nultočke grafa funkcije za koje funkcija poprima vrijednost nula. U prikazanom slučaju to vodi rješavanju kvadratne jednadžbe
rješenja koje su :
Točke i predstavljaju zato nultočke grafa funkcije
- .
U jednostavnijim slučajevima nultočke funkcije možemo naći neposredno iz same funkcije. Naime, razmatrajući funkciju
na prvi pogled je vidljivo da se ona može prikazati u obliku umnoška dva binomna člana kao
gdje će očito vrijednost funkcije biti jednaka nuli za i .
Ukoliko graf funkcije zaista siječe apscisu, odn. x-os koordinatnog sustava, tada će nultočke funkcije biti realni brojevi jer su i rješenja kvadratne jednadžbe realna. Međutim, ukoliko graf funkcije ne siječe x-os tada niti odgovarajuća kvadratna jednadžba neće imati realna rješenja, već će se rješenja nalaziti u domeni kompleksnih brojeva.
Tjeme grafa funkcije
U primjeru datu kvadratnu funkciju možemo razmatrati i kao parabolu osnovnog oblika
no pomaknutu iz središta koordinatnog sustava, gdje je p poluparametar parabole. Iz funkcije zadane sa
može se naći redom
odakle slijedi da su koordinate tjemena T grafa funkcije određene koordinatama x=0,5 i y=-2,25 te govorimo o grafu funkcije čije je tjeme "pomaknuto" izvan središta koordinatnog sustava.
Ekstremi kvadratne funkcije
Kvadratna funkcija ima jedan ekstrem, minimum ili maksimum funkcije, a ovisno o predznaku vodećeg člana funkcije. Za funkciju
to će biti minimum funkcije (a>0) koji se na grafu funkcije nalazi u točki gdje je smješteno tjeme funkcije T. Ekstrem funkcije može se naći i na drugi način. Diferencirajući funkciju nalazimo da je
- odakle slijedi da je
Ekstrem funkcije postoji za dy/dx=0 što vrijedi za x=1/2, a to je upravo x koordinata tjemena parabole u grafu. Kako je, nadalje, druga derivacija za svaki x veća od nule, očito se zaista radi o minimumu funkcije što se evidentno vidi i iz grafa funkcije.
Parabola i kvadratna funkcija
Parabola je kao krivulja de facto graf kvadratne funkcije. Valja samo ustanoviti vezu između odgovarajućih članova polinoma kvadratne funkcije te poluparametra p parabole.
Paraboli s tjemenom u ishodištu koordinatnog sustava i osnosimetričnoj u odnosu na y-os koordinatnog sustava odgovara tjemena jednadžba oblika
odakle slijedi da je
Uspoređujući parabolu s tjemenom u ishodištu koordinatnog sustava kao grafa odgovarajuće kvadratne funkcije nalazimo da je
gdje je evidentno
- , odnosno
što predstavlja neposrednu vezu poluparametra parabole p i vodećeg člana a polinoma kvadratne funkcije. Do odgovarajuće sličnih odnosa može se doći i razmatranjem parabole, odn. odgovarajućeg grafa kvadratne funkcije s pomaknutim tjemenom izvan središta koordinatnog sustava.
Konačno, valja napomenuti da paraboli definiranoj tjemenom jednadžbom
odgovara inverzna kvadratna funkcija oblika
gdje će sada, naravno, članovi a, b i c poprimiti neke druge vrijednosti, a uz zadržavanje svih odgovarajućih ekvivalentnih odnosa.
Značaj kvadratne funkcije
Razmatranje svojstava kvadratne funkcije često je na neki način uvod u analizu sve složenijih matematičkih funkcija i uvod u matematičku analizu općenito. Kvadratnu funkciju, međutim, vrlo često nalazimo u prirodi u različitim fizikalnim sustavima jer je, na primjer, u svakom ubrzanom gibanju prijeđeni put ovisan o kvadratu vremena, električna snaga na otporniku ovisna je o veličini otpora i kvadratu struje koja prolazi kroz njega, električna energija pohranjena u kondenzatoru ovisi o njegovu kapacitetu i kvadratu napona koji postoji na njegovim oblogama i td.
Literatura
- Gusić J., Mladinić P., Pavković B, "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.
- Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, Zagreb, 2006.