Funkcija identiteta

Funkcija identiteta (ili jednostavno identiteta) je matematička funkcija kojoj je svaka vrijednost jednaka pripadajućoj vrijednosti argumenta. Odnosno, vrijedi [math]\displaystyle{ f(x) = x }[/math] za svaki [math]\displaystyle{ x }[/math] iz domene funkcije [math]\displaystyle{ f. }[/math] Uz taj uvjet, ako su skupovi [math]\displaystyle{ A, B }[/math] redom domena i kodomena od [math]\displaystyle{ f }[/math], treba istaknuti da je nužno da vrijedi i [math]\displaystyle{ A = B }[/math] da bi funkcija bila identiteta.

Dakle identiteta je dana dvama uvjetima: mora biti [math]\displaystyle{ x \mapsto x=f(x) }[/math] te [math]\displaystyle{ f\colon A \to A }[/math].

Najpoznatiji primjer identitete je funkcija [math]\displaystyle{ f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} }[/math], [math]\displaystyle{ x \mapsto x }[/math] na skupu realnih brojeva koja je u Kartezijevom koordinatnom sustavu predočena pravcem [math]\displaystyle{ y = x }[/math]. Taj je pravac simetrala I. i III. kvadranta.

Pravac y = x kao graf funkcije identitete na skupu realnih brojeva

Definicija

Ako je [math]\displaystyle{ M }[/math] neki skup, funkcija identiteta [math]\displaystyle{ f }[/math] na [math]\displaystyle{ M }[/math] je definirana da bude takva funkcija s domenom i kodomenom [math]\displaystyle{ M }[/math] koja zadovoljava

[math]\displaystyle{ f(x) = x }[/math] za svaki element [math]\displaystyle{ x }[/math] u [math]\displaystyle{ M }[/math].

Drugim riječima, funkcijska vrijednost [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] u [math]\displaystyle{ M }[/math] (dakle u kodomeni) je uvijek jedna te ista ulazna vrijednost [math]\displaystyle{ x }[/math] od [math]\displaystyle{ M }[/math] (sada domena). Funkcija identiteta na [math]\displaystyle{ M }[/math] je očito injektivna te surjektivna, pa je ona očito bijekcija.

Funkcija identiteta [math]\displaystyle{ f }[/math] na [math]\displaystyle{ M }[/math] nerijetko se označuje s [math]\displaystyle{ \text{id}_M }[/math].