Popis trigonometrijskih jednakosti: razlika između inačica

Inačica od 17. studeni 2021. u 23:48

Trigonometrijske jednakosti pokazuju poveznice između pojedinih trigonometrijskih funkcija. Ti izrazi su istiniti za svaku odabranu vrijednost određene varijable (kuta ili nekog drugog broja). Kako su trigonometrijske funkcije međusobno povezane pomoću vrijednosti jedne, moguće je izraziti neku drugu funkciju. Jednakosti se koriste za pojednostavljenje izraza koji uključuju trigonometrijske funkcije.

Nazivlje

Kutovi

Datoteka:Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Kut

Nazivi kutova se daju prema slovima grčkog alfabeta kao što su alfa (α), beta (β), gama (γ), delta (δ) i theta (θ). Mjerne jedinice za mjerenje kutova su stupnjevi, radijani i gradi:

1 puni krug = 360 stupnjeva = 2Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \pi } radijana = 400 gradi.

Sljedeća tablica prikazuje pretvorbu mjernih jedinica za određene veličine kuteva:

Stupnjevi	30°	60°	120°	150°	210°	240°	300°	330°
Radijani	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}\!}	${\frac {\pi }{3}}\!$	${\frac {2\pi }{3}}\!$	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}\!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}\!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}\!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}\!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}\!}
Gradi	33⅓	66⅔	133⅓	166⅔	233⅓	266⅔	333⅓	366⅔

Stupnjevi	45°	90°	135°	180°	225°	270°	315°	360°
Radijani	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\!}	${\frac {\pi }{2}}\!$	${\frac {3\pi }{4}}\!$	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \pi \!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {5\pi }{4}}\!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}\!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}\!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 2\pi \!}
Gradi	50	100	150	200	250	300	350	400

Kutovi se u trigonometriji najčešće izražavaju u radijanima i to bez mjerne jedinice, stupnjevi s oznakom ° se manje koriste, a gradi izrazito rijetko.

Trigonometrijske funkcije

Datoteka:Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Trigonometrijske funkcije

Primarne trigonometrijske funkcije su sinus i kosinus kuta. Sinus se označava sa sinθ, a kosinus sa cosθ pri čemu je θ naziv kuta.

Tangens (tg, tan) kuta je omjer sinusa i kosinusa:

\operatorname {tg} \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}.

S druge strane, imamo i recipročne funkcije pri čemu je kosinusu recipročan sekans (sec), sinusu kosekans(csc, cosec), a tangensu kotangens (ctg, cot):

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }},\quad \operatorname {ctg} \theta ={\frac {1}{\operatorname {tg} \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}.}

Inverzne funkcije

Datoteka:Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Inverzne trigonometrijske funkcije

Inverzne trigonometrijske funkcije ili arkus funkcije su inverzne funkcije trigonometrijskim funkcijama. Prema tome imamo, arkus sinus (arcsin, asin) je inverzna funkcija sinusnoj funkciji , pri čemu vrijedi da je

\sin(\arcsin x)=x\!

i

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \arcsin(\sin \theta )=\theta \quad {\text{za }}-\pi /2\leq \theta \leq \pi /2.}

U sljedećoj tablici su prikazane i druge komplementarne inverzne funkcije i kratice:

Trigonometrijska funkcija	Sinus	Kosinus	Tangens	Sekans	Kosekans	Kotangens
Kratica	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {sin} \theta }	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {cos} \theta }	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {tg} \theta }	$\operatorname {sec} \theta$	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {csc} \theta }	$\operatorname {ctg} \theta$
Inverzna trigonometrijska funkcija	Arkus sinus	Arkus kosinus	Arkus tangens	Arkus sekans	Arkus kosekans	Arkus kotangens
Kratica	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {arcsin} \theta }	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {arccos} \theta }	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {arctg} \theta }	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {arcsec} \theta }	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {arccsc} \theta }	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {arcctg} \theta }

Pitagorina trigonometrijska jednakost

Pitagorina trigonometrijska jednakost ili temeljni identitet trigonometrije je jedna od osnovnih trigonometrijskih jednakosti i prikazuje odnos između sinusa i kosinusa:

\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\!

gdje cos² θ znači (cos(θ))² i sin² θ znači (sin(θ))².

Izraz je u biti izvedenica Pitagorinog poučka i proizilazi iz jednakosti Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1\!\ } koja vrijedi za jediničnu kružnicu. Ova jednadžba može biti rješena za sinus i za kosinus:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \sin \theta =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}\quad {\text{i}}\quad \cos \theta =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\,}

Povezane jednakosti

Podijelivši Pitagorinu jednakost s cos² θ ili sa sin² θ dobivamo sljedeće dvije jednakosti:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 1+\operatorname {tg} ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \quad {\text{i}}\quad 1+\operatorname {ctg} ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta .\!}

Koristeći navedene jednakosti te omjere koji su korišteni pri definiranju trigonometrijskih funkcija, mogu se izvesti trigonometrijske jednakosti gdje je jedna trigonometrijska funkcija prikazana pomoću druge:

Svaka trigonometrijska funkcija prikazana pomoću druge trigonometrijske funkcije^[1]
in terms of	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin \theta\!}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos \theta\!}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{tg} \theta\!}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \csc \theta\!}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sec \theta\!}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{ctg} \theta\!}
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin \theta =\!}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin \theta\ }	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}\! }	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\frac{\operatorname{tg} \theta}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 \theta}}\! }	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\csc \theta}\! }	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}\! }	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm\frac{1}{\sqrt{1 + \operatorname{ctg}^2 \theta}}\! }
$\cos \theta =\!$	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}\!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \cos \theta \!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\theta }}}\!}	$\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}\!$	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {1}{\sec \theta }}\!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \pm {\frac {\operatorname {ctg} \theta }{\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\theta }}}\!}
$\operatorname {tg} \theta =\!$	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}\!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}\!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {tg} \theta \!}	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\!$	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}\!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {ctg} \theta }}\!}
$\csc \theta =\!$	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {1}{\sin \theta }}\!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\theta }}{\operatorname {tg} \theta }}\!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \csc \theta \!}	$\pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\!$	$\pm {\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\theta }}\!$
Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \sec \theta =\!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}\!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}\!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \pm {\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\theta }}\!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \sec \theta \!}	$\pm {\frac {\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\theta }}{\operatorname {ctg} \theta }}\!$
$\operatorname {ctg} \theta =\!$	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}\!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {tg} \theta }}\!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}\!}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\!}	$\operatorname {ctg} \theta \!$

Ostale funkcije korištene u prošlosti

Datoteka:Circle-trig6.svg

Sve trigonometrijske funkcije kuta θ mogu biti geometrijski konstruirane s obzirom na jediničnu kružnicu sa središtem u O. Pojedine se višse ne koriste.

Pojedine trigonometrijske fukcije više nisu u uporabi. Versinus, koversinus, haversinus i eksekans su se koristile pri navigaciji, a haversinusna formula se koristila za računanje udaljenosti dviju točaka na sferi.

Ime	Kratica	Vrijednost^[2]
Versinus	$\operatorname {versin} (\theta )$ Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {vers} (\theta )} Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {ver} (\theta )}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 1-\cos(\theta )}
Verkosinus	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {vercosin} (\theta )}	$1+\cos(\theta )$
Koversinus	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {coversin} (\theta )} Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {cvs} (\theta )}	$1-\sin(\theta )$
Koverkosinus	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {covercosin} (\theta )}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 1+\sin(\theta )}
Haversinus	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {haversin} (\theta )}	${\frac {1-\cos(\theta )}{2}}$
Haverkosinus	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {havercosin} (\theta )}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {1+\cos(\theta )}{2}}}
Hakoversinus	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {hacoversin} (\theta )}	${\frac {1-\sin(\theta )}{2}}$
Hakoverkosinus	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {hacovercosin} (\theta )}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {1+\sin(\theta )}{2}}}
Eksekans	$\operatorname {exsec} (\theta )$	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \sec(\theta )-1}
Ekskosekans	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \csc(\theta )-1}
Tetiva	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {crd} (\theta )}	$2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)$

Simetrija, pomak i periodičnost

Proučavajući jediničnu kružnicu mogu se uvidjeti pojedina svojstva trigonometrijske kružnice kao što su simetrija, razni pomaci i periodičnost funkcija. Formule u sljedeće dvije tablice se često nazivaju formule redukcije.

Simetrija

Kada neku trigonometrijsku funkciju odbijemo za određeni kut (npr. π,π/2) rezultat često bude neka druga trigonometrijska funkcija.

Odbitak za $\theta =0$ ^[3]	Odbitak za Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \theta =\pi /2} ^[4]	Odbitak za Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta= \pi}
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sin(-\theta) &= -\sin \theta \\ \cos(-\theta) &= +\cos \theta \\ \operatorname{tg}(-\theta) &= -\operatorname{tg} \theta \\ \csc(-\theta) &= -\csc \theta \\ \sec(-\theta) &= +\sec \theta \\ \operatorname{ctg}(-\theta) &= -\operatorname{ctg} \theta \end{align} }	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sin(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cos \theta \\ \cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sin \theta \\ \operatorname{tg}(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\operatorname{ctg} \theta \\ \csc(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sec \theta \\ \sec(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\csc \theta \\ \operatorname{ctg}(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\operatorname{tg} \theta \end{align} }	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sin(\pi - \theta) &= +\sin \theta \\ \cos(\pi - \theta) &= -\cos \theta \\ \operatorname{tg}(\pi - \theta) &= -\operatorname{tg} \theta \\ \csc(\pi - \theta) &= +\csc \theta \\ \sec(\pi - \theta) &= -\sec \theta \\ \operatorname{ctg}(\pi - \theta) &= -\operatorname{ctg} \theta \\ \end{align} }

Pomaci i periodičnost

Pomicanjem funkcije za određeni kut također se kao rezultat dobije neka druga trigonometrijska funkcija koja rezultat prikaže jednostavnije. To možemo vidjeti u primjerima pomaka za π/2, π i 2π radijana. S obzirom da su trigonomterijeske funkcije periodične, ovisno o funkciji za π (tangens i kotangens funkcija) ili 2π (sinus i kosinus funkcija), tada nova funkcija poprima istu vrijednost.

Pomak za π/2	Pomak za π Period for tan and cot^[5]	Pomak za 2π Period for sin, cos, csc and sec^[6]
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\ \cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\ \operatorname{tg}(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\operatorname{ctg} \theta \\ \csc(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \theta \\ \sec(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \theta \\ \operatorname{ctg}(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\operatorname{tg} \theta \end{align} }	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\ \cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\ \operatorname{tg}(\theta + \pi) &= +\operatorname{tg} \theta \\ \csc(\theta + \pi) &= -\csc \theta \\ \sec(\theta + \pi) &= -\sec \theta \\ \operatorname{ctg}(\theta + \pi) &= +\operatorname{ctg} \theta \\ \end{align} }	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\ \cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\ \operatorname{tg}(\theta + 2\pi) &= +\operatorname{tg} \theta \\ \csc(\theta + 2\pi) &= +\csc \theta \\ \sec(\theta + 2\pi) &= +\sec \theta \\ \operatorname{ctg}(\theta + 2\pi) &= +\operatorname{ctg} \theta \end{align} }

Zbroj i razlika kutova

Ove trigonometrijske jednakosti se nazivaju adicijske formule. Otkrio ih je prezijski matematičar Abū al-Wafā' Būzjānī u 10. stoljeću. Eulerova formula može pomoći pri dokazivanju ovih jednakosti.

Sinus	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \!} ^[7]
Kosinus	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,} ^[8]
Tangens	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta}{1 \mp \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}} ^[9]
Arkus sinus	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \arcsin\alpha \pm \arcsin\beta = \arcsin(\alpha\sqrt{1-\beta^2} \pm \beta\sqrt{1-\alpha^2})} ^[10]
Arkus kosinus	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \arccos\alpha \pm \arccos\beta = \arccos(\alpha\beta \mp \sqrt{(1-\alpha^2)(1-\beta^2)})} ^[11]
Arkus tangens	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arctg}\alpha \pm \operatorname{arctg}\beta = \operatorname{arctg}\left(\frac{\alpha \pm \beta}{1 \mp \alpha\beta}\right)} ^[12]

Matrični oblik

Datoteka:Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Množenje matrica

Trigonometrijske formule zbroja i razlike za sinus i kosinus mogu biti zapisani u obliku matrice.

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} & {} \quad \left(\begin{array}{rr} \cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array}\right) \\[12pt] & = \left(\begin{array}{rr} \cos\phi\cos\theta - \sin\phi\sin\theta & -\cos\phi\sin\theta - \sin\phi\cos\theta \\ \sin\phi\cos\theta + \cos\phi\sin\theta & -\sin\phi\sin\theta + \cos\phi\cos\theta \end{array}\right) \\[12pt] & = \left(\begin{array}{rr} \cos(\theta+\phi) & -\sin(\theta+\phi) \\ \sin(\theta+\phi) & \cos(\theta+\phi) \end{array}\right) \end{align} }

Sinus i kosinus zbroja beskonačno mnogo veličina

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right) =\sum_{\text{odd}\ k \ge 1} (-1)^{(k-1)/2} \sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}} \left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) }

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right) =\sum_{\text{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^{k/2} ~~ \sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}} \left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) }

Tangens zbroja konačno mnogo veličina

Neka je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e_k \,} (za k ∈ {0, ..., n}) k-ti stupanj osnovnog simetričnog polinoma pri čemu je

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i = \operatorname{tg} \theta_i\,}

za i ∈ {0, ..., n} pa slijedi

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} e_0 & = 1 \\[6pt] e_1 & = \sum_{1 \le i \le n} x_i & & = \sum_{1 \le i \le n} \operatorname{tg}\theta_i \\[6pt] e_2 & = \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j & & = \sum_{1 \le i < j \le n} \operatorname{tg}\theta_i \operatorname{tg}\theta_j \\[6pt] e_3 & = \sum_{1 \le i < j < k \le n} x_i x_j x_k & & = \sum_{1 \le i < j < k \le n} \operatorname{tg}\theta_i \operatorname{tg}\theta_j \operatorname{tg}\theta_k \\ & {}\ \ \vdots & & {}\ \ \vdots \end{align} }

Tada vrijedi da je

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{tg}(\theta_1+\cdots+\theta_n) = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots},\! }

u ovisnosti o broju n.

Na primjer:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \operatorname{tg}(\theta_1 + \theta_2) & = \frac{ e_1 }{ e_0 - e_2 } = \frac{ x_1 + x_2 }{ 1 \ - \ x_1 x_2 } = \frac{ \operatorname{tg}\theta_1 + \operatorname{tg}\theta_2 }{ 1 \ - \ \operatorname{tg}\theta_1 \operatorname{tg}\theta_2 } , \\ \\ \operatorname{tg}(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) & = \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 } = \frac{ (x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3) }{ 1 \ - \ (x_1x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) }, \\ \\ \operatorname{tg}(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4) & = \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 + e_4 } \\ \\ & = \frac{ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4) }{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4) }, \end{align}}

i tako dalje. Navedena jednakost se može dokazati matematičkom indukcijom.^[13]

Sekans i kosekans zbroja konačno mnogo veličina

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sec(\theta_1 + \cdots + \theta_n) & = \frac{\sec\theta_1 \cdots \sec\theta_n}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots} \\[8pt] \csc(\theta_1 + \cdots + \theta_n) & = \frac{\sec\theta_1 \cdots \sec\theta_n}{e_1 - e_3 + e_5 - \cdots} \end{align} }

gdje je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e_k \,} k-ti stupanj osnovnog simetričnog polinoma za n varijabla x_i = tan θ_i, i = 1, ..., n, a broj veličina u nazivniku ovisi o n.

Na primjer,

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sec(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\gamma - \operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}\gamma } \\[8pt] \csc(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}\gamma - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}\gamma} \end{align} }

Jednakosti za višestruke kutove

T_n je n-ti Čebiševljev polinom	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos n\theta =T_n (\cos \theta )\,}
S_n je n-ti polinom širine	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin^2 n\theta = S_n (\sin^2\theta)\,}
De Moivreova formula, Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} je imaginarna jedinica	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos n\theta +i\sin n\theta=(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^n \,} ^[14]

Trigonomterijske jednakosti dvostrukih, trostrukih i polovičnih kutova

Datoteka:Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Formula tangensa polovičnih kutova

Formule dvostrukog kuta^[15]
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sin 2\theta &= 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{2 \operatorname{tg} \theta} {1 + \operatorname{tg}^2 \theta} \end{align}} Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \theta} {1 + \operatorname{tg}^2 \theta} \end{align}} Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{tg} 2\theta = \frac{2 \operatorname{tg} \theta} {1 - \operatorname{tg}^2 \theta}\!} Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{ctg} 2\theta = \frac{\operatorname{ctg}^2 \theta - 1}{2 \operatorname{ctg} \theta}\!}
Formule trostrukog kuta
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\sin 3\theta & = 3 \cos^2\theta \sin\theta - \sin^3\theta & = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta \end{align}} Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\cos 3\theta & = \cos^3\theta - 3 \sin^2 \theta\cos \theta & = 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta\end{align}} Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{tg} 3\theta = \frac{3 \operatorname{tg}\theta - \operatorname{tg}^3\theta}{1 - 3 \operatorname{tg}^2\theta}\!} Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{ctg} 3\theta = \frac{3 \operatorname{ctg}\theta - \operatorname{ctg}^3\theta}{1 - 3 \operatorname{ctg}^2\theta}\!}
Formule polovičnog kuta^[16]
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}} Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}} Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{tg} \frac{\theta}{2} = \csc \theta - \operatorname{ctg} \theta = \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}} Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{tg}\frac{\eta+\theta}{2} = \frac{\sin\eta+\sin\theta}{\cos\eta+\cos\theta}} Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{tg}\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \sec\theta + \operatorname{tg}\theta} Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}} = \frac{1 - \operatorname{tg}(\theta/2)}{1 + \operatorname{tg}(\theta/2)}} Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{tg}\tfrac{1}{2}\theta = \frac{\operatorname{tg}\theta}{1 + \sqrt{1+\operatorname{tg}^2\theta}} \mbox{za}\quad \theta \in \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2} \right)} Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{ctg} \frac{\theta}{2} = \csc \theta + \operatorname{ctg} \theta = \pm\, \sqrt{1 + \cos \theta \over 1 - \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}}

Sinus, kosinus i tangens višestrukih kutova

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\sin\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\cos\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{tg}\,(n{+}1)\theta = \frac{\operatorname{tg} n\theta + \operatorname{tg} \theta}{1 - \operatorname{tg} n\theta\,\operatorname{tg} \theta}.}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{ctg}\,(n{+}1)\theta = \frac{\operatorname{ctg} n\theta\,\operatorname{ctg} \theta - 1}{\operatorname{ctg} n\theta + \operatorname{ctg} \theta}.}

Čebiševljeva metoda

Čebiševljeva metoda je rekurzivni algoritam za nalaženje formula n-tih višestrukih kutova poznavajući (n − 1)-te i (n − 2)-te formule.^[17]

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos nx = 2 \cdot \cos x \cdot \cos (n-1) x - \cos (n-2) x \,}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin nx = 2 \cdot \cos x \cdot \sin (n-1) x - \sin (n-2) x \, }

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{tg} nx = \frac{H + K \operatorname{tg} x}{K- H \operatorname{tg} x} \, }

gdje je H/K = tan(n − 1)x.

Tangens prosjeka

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{tg}\left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right) = \frac{\sin\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta} = -\,\frac{\cos\alpha - \cos\beta}{\sin\alpha - \sin\beta}}

Ako su α ili β jednaki 0 tada dobivamo formulu za tangens polovičnog kuta.

Vièteov beskonačni produkt

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\left({\theta \over 2}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 4}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 8}\right)\cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos\left({\theta \over 2^n}\right) = {\sin(\theta)\over \theta} = \operatorname{sinc}\,\theta. }

Jednakosti potenciranih trigonometrijskih funkcija

Sinus	Kosinus	Druge
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}\!}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\!}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}\!}
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin 3\theta}{4}\!}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}\!}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin^3\theta \cos^3\theta = \frac{3\sin 2\theta - \sin 6\theta}{32}\!}
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}\!}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}\!}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin^4\theta \cos^4\theta = \frac{3-4\cos 4\theta + \cos 8\theta}{128}\!}
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin^5\theta = \frac{10 \sin\theta - 5 \sin 3\theta + \sin 5\theta}{16}\!}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16}\!}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin^5\theta \cos^5\theta = \frac{10\sin 2\theta - 5\sin 6\theta + \sin 10\theta}{512}\!}

Za izvode potencija sinus i kosinusa kuta se koriste De Moivreova formula, Eulerov poučak i binomni poučak.

	Kosinus	Sinus
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{ako je }n\text{ neparan}}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{(\frac{n-1}{2}-k)} \binom{n}{k} \sin{((n-2k)\theta)}}
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{ako je }n\text{ paran}}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{(\frac{n}{2}-k)} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}}

Formule pretvorbi umnoška u zbroj i zbroja u umnožak

Umnožak u zbroj^[18]
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos \theta \cos \varphi = {\cos(\theta - \varphi) + \cos(\theta + \varphi) \over 2}}
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin \theta \sin \varphi = {\cos(\theta - \varphi) - \cos(\theta + \varphi) \over 2}}
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin \theta \cos \varphi = {\sin(\theta + \varphi) + \sin(\theta - \varphi) \over 2}}
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos \theta \sin \varphi = {\sin(\theta + \varphi) - \sin(\theta - \varphi) \over 2}}

Zbroj u umnožak^[19]
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin \theta \pm \sin \varphi = 2 \sin\left( \frac{\theta \pm \varphi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta \mp \varphi}{2} \right)}
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right)}
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos \theta - \cos \varphi = -2\sin\left( {\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi \over 2}\right)}

Druge povezane jednakosti

Ako su x, y i z bilo kojeg trokuta, tada vrijedi

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{ako je zbroj }x + y + z = \pi = \text{polukrug,}\, }

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{onda je }\operatorname{tg}(x) + \operatorname{tg}(y) + \operatorname{tg}(z) = \operatorname{tg}(x)\operatorname{tg}(y)\operatorname{tg}(z).\,}

odnosno

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{ako je zbroj }x + y + z = \pi = \text{polukrug,}\, }

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{onda je }\sin(2x) + \sin(2y) + \sin(2z) = 4\sin(x)\sin(y)\sin(z).\,}

Hermiteova kotangensova jednakost

Datoteka:Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Hermiteova kotangensova jednakost

Charles Hermite je pokazao da vrijedi određena jednakost^[20] gdje su varijable a₁, ..., a_n kompleksni brojevi. Neka je

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{n,k} = \prod_{\begin{smallmatrix} 1 \le j \le n \\ j \neq k \end{smallmatrix}} \operatorname{ctg}(a_k - a_j) }

te u slučaju kada je A_1,1, dobiva se prazan produkt, koji je jednak 1. Općenito se dobiva sljedeća vrijednost:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{ctg}(z - a_1)\cdots\operatorname{ctg}(z - a_n) = \cos\frac{n\pi}{2} + \sum_{k=1}^n A_{n,k} \operatorname{ctg}(z - a_k).}

U najjednostavnijem slučaju za n = 2 vrijedi:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{ctg}(z - a_1)\operatorname{ctg}(z - a_2) = -1 + \operatorname{ctg}(a_1 - a_2)\operatorname{ctg}(z - a_1) + \operatorname{ctg}(a_2 - a_1)\operatorname{ctg}(z - a_2). }

Ptolemejev teorem

Ove jednakosti predstavljaju trigonometrijski oblik ptolomejevog teorema.

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{Ako su }w + x + y + z = \pi = \text{polukrug,} \, }

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \text{tada vrijedi } & \sin(w + x)\sin(x + y) \\ &{} = \sin(x + y)\sin(y + z) \\ &{} = \sin(y + z)\sin(z + w) \\ &{} = \sin(z + w)\sin(w + x) = \sin(w)\sin(y) + \sin(x)\sin(z). \end{align}}

Linearne kombinacije

Datoteka:Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Fazni vektor

Bilo koja linearna kombinacija sinusnih valova istih perioda ili frekvencija s različitim faznim pomacima je također sinusni val sa istom periodom ili frekvencijom s različitim faznim pomakom. Kod nenulte linearne kombinacije sinusnog i kosinusnog vala ^[21], se dobiva

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)\,}

gdje je

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi = \begin{cases}\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right) & \text{ako je }a \ge 0, \\ \pi-\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right) & \text{ako je }a < 0, \end{cases} }

što je ekvivalentno s

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi = \operatorname{arctg} \left(\frac{b}{a}\right) + \begin{cases} 0 & \text{ako je }a \ge 0, \\ \pi & \text{ako je }a < 0, \end{cases} }

ili čak s

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi = \text{sgn}(b)\cos^{-1}\left(\tfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right) }

Općenito za proizvoljan fazni pomak vrijedi

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\sin x+b\sin(x+\alpha)= c \sin(x+\beta)\,}

gdje je

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cos \alpha},\,}

i

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta = \operatorname{arctg} \left(\frac{b\sin \alpha}{a + b\cos \alpha}\right) + \begin{cases} 0 & \text{ako je } a + b\cos \alpha \ge 0, \\ \pi & \text{ako je } a + b\cos \alpha < 0. \end{cases} }

Lagrangeove trigonometrijske jednakosti

Ove jednakosti su ime dobili po Josephu Louisu Lagrangeu.^[22]^[23]

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sum_{n=1}^N \sin n\theta & = \frac{1}{2}\operatorname{ctg}\theta-\frac{\cos(N+\frac{1}{2})\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta}\\ \sum_{n=1}^N \cos n\theta & = -\frac{1}{2}+\frac{\sin(N+\frac{1}{2})\theta}{2\sin\frac{1}{2}\theta} \end{align} }

S njima je povezana funkcija koja se naziva Dirichletova jezgra.

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1+2\cos(x) + 2\cos(2x) + 2\cos(3x) + \cdots + 2\cos(nx) = \frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}.}

Ostali oblici zbrojeva trigonometrijskih funkcija

Zbroj sinusa i kosinusa sa varijablama u aritmetičkom nizu ^[24]:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} & \sin{\varphi} + \sin{(\varphi + \alpha)} + \sin{(\varphi + 2\alpha)} + \cdots {} \\[8pt] & {} \qquad\qquad \cdots + \sin{(\varphi + n\alpha)} = \frac{\sin{\left(\frac{(n+1) \alpha}{2}\right)} \cdot \sin{(\varphi + \frac{n \alpha}{2})}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}. \\[10pt] & \cos{\varphi} + \cos{(\varphi + \alpha)} + \cos{(\varphi + 2\alpha)} + \cdots {} \\[8pt] & {} \qquad\qquad \cdots + \cos{(\varphi + n\alpha)} = \frac{\sin{\left(\frac{(n+1) \alpha}{2}\right)} \cdot \cos{(\varphi + \frac{n \alpha}{2})}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}. \end{align} }

Za bilo koji a i b vrijedi:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \cos(x) + b \sin(x) = \sqrt{ a^2 + b^2 } \cos(x - \operatorname{atan2}\,(b,a)) \;}

gdje je atan2(y, x) poopćenje funkcije arctan(y/x) koja pokriva cijeli kružni opseg.

Koristeći Gudermannovu funkciju koja povezuje cirkularne i hiperbolne trigonometrijske funkcije bez korištenja kompleksnih brojeva može se iskoristiti sljedeći izraz:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{tg}(x) + \sec(x) = \operatorname{tg}\left({x \over 2} + {\pi \over 4}\right).}

Ako su x, y i z ako su kutovi bilo kojeg trokuta odnosno x + y + z = π, tada je

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{ctg}(x)\operatorname{ctg}(y) + \operatorname{ctg}(y)\operatorname{ctg}(z) + \operatorname{ctg}(z)\operatorname{ctg}(x) = 1.\,}

Određene linearne frakcionalne transformacije

Datoteka:Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Möbiusova transformacija

Ako je ƒ(x) dan linearnom frakcionalnom transformacijom

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \frac{(\cos\alpha)x - \sin\alpha}{(\sin\alpha)x + \cos\alpha}, }

i slično tome

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x) = \frac{(\cos\beta)x - \sin\beta}{(\cos\beta)x + \sin\beta}, }

tada vrijedi

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(g(x)) = g(f(x)) = \frac{(\cos(\alpha+\beta))x - \sin(\alpha+\beta)}{(\sin(\alpha+\beta))x + \cos(\alpha+\beta)}. }

Kraće rečeno, ako je za sve α funkcija ƒ_α baš ta gore prikazana funkcija ƒ tada vrijedi da je

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_\alpha \circ f_\beta = f_{\alpha+\beta}. \, }

Jednakosti inverznih trigonometrijskih funkcija

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \arcsin(x)+\arccos(x)=\pi/2\;}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arctg}(x)+\operatorname{arcctg}(x)=\pi/2.\;}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arctg}(x)+\operatorname{arctg}(1/x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, & \mbox{ako je }x > 0 \\ -\pi/2, & \mbox{ako je }x < 0 \end{matrix}\right.}

Kompozicija trigonometrijskih i inverznih trigonometrijskih funkcija

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin[\arccos(x)]=\sqrt{1-x^2} \,}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{tg}[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}}
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin[\operatorname{arctg}(x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{tg}[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}}
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos[\operatorname{arctg}(x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{ctg}[\arcsin (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}}
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \,}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{ctg}[\arccos (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}}

Povezanost sa kompleksnom eksponencijalnom funkcijom

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\,} ^[25] Ovaj se izraz naziva Eulerova formula,

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(-x) = \cos(x) - i\sin(x)\,}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{i\pi} = -1} Ovaj se izraz naziva Eulerov identitet,

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \;} ^[26]

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \;} ^[27]

odnosno

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{tg}(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{i({e^{ix} + e^{-ix}})}\; = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}}

gdje je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i^2 = -1} .

Povezanost s beskonačnim produktima

Datoteka:Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Beskonačni produkti

Pri rješavanju specijalnih funkcija, različite koristimo formule koje povezuju beskonačni produkt i trigonometrijske funkcije:^[28]^[29]

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sinh x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\sin x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\sin x| = \frac1{2}\prod_{n = 0}^\infty \sqrt[2^{n+1}]{\left|\operatorname{tg}\left(2^n x\right)\right|}}

Jednakosti bez varijabli

Jednakost bez varijabli

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=\frac{1}{8}}

je poseban slučaj jednakosti s jednom varijablom:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin(x)}.}

Nadalje, također vrijedi da je

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin 20^\circ\cdot\sin 40^\circ\cdot\sin 80^\circ=\frac{\sqrt{3}}{8}.}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7} = \frac{1}{8}, }

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{tg} 50^\circ\cdot\operatorname{tg} 60^\circ\cdot\operatorname{tg} 70^\circ=\operatorname{tg} 80^\circ.}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\frac{1}{2}.}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} & \cos\left( \frac{2\pi}{21}\right) + \cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{21}\right) + \cos\left(4\cdot\frac{2\pi}{21}\right) \\[10pt] & {} \qquad {} + \cos\left( 5\cdot\frac{2\pi}{21}\right) + \cos\left( 8\cdot\frac{2\pi}{21}\right) + \cos\left(10\cdot\frac{2\pi}{21}\right)=\frac{1}{2}. \end{align} }

Mnogo jednakosti ima osnovu u izrazima kao što su^[30]:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}}}

i

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} \cos\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{\sin(\pi n/2)}{2^{n-1}} }

Njihovom kombinacijom dobivamo:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} \operatorname{tg}\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{\sin(\pi n/2)}}

Ako je n neparan broj(n = 2m + 1) korištenjem simetrije dobivamo

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \prod_{k=1}^{m} \operatorname{tg}\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right) = \sqrt{2m+1}}

Određivanje broja π

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\pi}{4} = 4 \operatorname{arctg}\frac{1}{5} - \operatorname{arctg}\frac{1}{239}}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\pi}{4} = 5 \operatorname{arctg}\frac{1}{7} + 2 \operatorname{arctg}\frac{3}{79}.}

Mnemonički zapis za neke vrijednosti sinusa i kosinusa

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{matrix} \sin 0 & = & \sin 0^\circ & = & \sqrt{0}/2 & = & \cos 90^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {2} \right) \\ \\ \sin \left( \frac {\pi} {6} \right) & = & \sin 30^\circ & = & \sqrt{1}/2 & = & \cos 60^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {3} \right) \\ \\ \sin \left( \frac {\pi} {4} \right) & = & \sin 45^\circ & = & \sqrt{2}/2 & = & \cos 45^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {4} \right) \\ \\ \sin \left( \frac {\pi} {3} \right) & = & \sin 60^\circ & = & \sqrt{3}/2 & = & \cos 30^\circ & = & \cos \left( \frac {\pi} {6} \right)\\ \\ \sin \left( \frac {\pi} {2} \right) & = & \sin 90^\circ & = & \sqrt{4}/2 & = & \cos 0^\circ & = & \cos 0 \end{matrix} }

Zlatni rez φ

Datoteka:Vista-xmag.pngPodrobniji članci o temama: Zlatni rez i Trigonometrijske konstante

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos \left( \frac {\pi} {5} \right) = \cos 36^\circ={\sqrt{5}+1 \over 4} = \frac{\varphi }{2} }

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin \left( \frac {\pi} {10} \right) = \sin 18^\circ = {\sqrt{5}-1 \over 4} = {\varphi - 1 \over 2} = {1 \over 2\varphi}}

Euklidova jednakost

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin^2(18^\circ)+\sin^2(30^\circ)=\sin^2(36^\circ). \, }

Infinitezimalni račun

Derivacije

Datoteka:Vista-xmag.pngPodrobniji članci o temama: Derivacija i Popis derivacija trigonometrijskih funkcija

Koristeći infinitezimalni račun, kutovi pri računanju moraju biti u radijanima. Derivacije trigonometrijskih funkcija mogu se odrediti pomoću dva limesa:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1,}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x }{x}=0,}

Deriviranjem trigonometrijskih funkcija dobivaju se sljedeće jednakosti i pravila:^[31]^[32]^[33]

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} {d \over dx} \sin x & = \cos x ,& {d \over dx} \arcsin x & = {1 \over \sqrt{1 - x^2}} \\ \\ {d \over dx} \cos x & = -\sin x ,& {d \over dx} \arccos x & = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \\ \\ {d \over dx} \operatorname{tg} x & = \sec^2 x ,& {d \over dx} \operatorname{arctg} x & = { 1 \over 1 + x^2} \\ \\ {d \over dx} \operatorname{ctg} x & = -\csc^2 x ,& {d \over dx} \operatorname{arcctg} x & = {-1 \over 1 + x^2} \\ \\ {d \over dx} \sec x & = \operatorname{tg} x \sec x ,& {d \over dx} \arcsec x & = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \\ \\ {d \over dx} \csc x & = -\csc x \operatorname{ctg} x ,& {d \over dx} \arccsc x & = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \end{align} }

Integrali

Datoteka:Vista-xmag.pngPodrobniji članci o temama: Integrali i Popis integrala trigonometrijskih funkcija

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=\sin ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int{\frac{du}{a^{2}+u^{2}}}=\frac{1}{a}\operatorname{tg} ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int{\frac{du}{u\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\frac{1}{a}\sec ^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C}

Eksponencijalne definicije trigonometrijskih funkcija

Funkcija	Inverzna funkcija^[34]
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \,}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \arcsin x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right) \,}
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \,}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \arccos x = -i \ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \,}
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{tg} \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})} \,}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arctg} x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{i + x}{i - x}\right) \,}
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \csc \theta = \frac{2i}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \,}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \arccsc x = -i \ln \left(\tfrac{i}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{1}{x^2}}\right) \,}
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sec \theta = \frac{2}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}} \,}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \arcsec x = -i \ln \left(\tfrac{1}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{i}{x^2}}\right) \,}
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{ctg} \theta = \frac{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \,}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arcctg} x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{x - i}{x + i}\right) \,}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{cis} \, \theta = e^{i\theta} \,}	Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arccis} \, x = \frac{\ln x}{i} = -i \ln x = \operatorname{arg} \, x \,}

Weierstrassova supstitucija

Datoteka:Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Weierstrassova supstitucija

Ako je

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right),}

tada vrijedi ^[35]

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin(x) = \frac{2t}{1 + t^2}\text{ i }\cos(x) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}\text{ i }e^{i x} = \frac{1 + i t}{1 - i t}}

gdje je e^ix = cos(x) + i sin(x), što ponekad skraćeno pišemo kao cis(x).

Vidi još

Bilješke

↑ Abramowitz and Stegun, p. 73, 4.3.45
↑ Abramowitz and Stegun, p. 78, 4.3.147
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15
↑ The Elementary Identities
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.9
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–8
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18
↑ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.42
↑ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.43
↑ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.36
↑ Bronstein, Manual (1989). "Simplification of Real Elementary Functions". Proceedings of the ACM-SIGSAM 1989 international symposium on Symbolic and algebraic computation: 211
↑ Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.48
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.24–26
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22
↑ Ken Ward's Mathematics Pages, http://www.trans4mind.com/personal_development/mathematics/trigonometry/multipleAnglesRecursiveFormula.htm
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.31–33
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.34–39
↑ Warren P. Johnson, "Trigonometric Identities à la Hermite", American Mathematical Monthly, volume 117, number 4, April 2010, pages 311–327
↑ Proof at http://pages.pacificcoast.net/~cazelais/252/lc-trig.pdf
↑ Eddie Ortiz Muñiz (veljača 1953). "A Method for Deriving Various Formulas in Electrostatics and Electromagnetism Using Lagrange's Trigonometric Identities". American Journal of Physics 21 (2): 140
↑
• Nepoznat parametar: chapter
• Nedostaje obavezni parametar: url
• Parametar isbn nije dopušten u klasi web
• Parametar edition nije dopušten u klasi web
↑ Michael P. Knapp, Sines and Cosines of Angles in Arithmetic Progression
↑ Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.47
↑ Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.2
↑ Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.1
↑ Abramowitz and Stegun, p. 75, 4.3.89–90
↑ Abramowitz and Stegun, p. 85, 4.5.68–69
↑ Weisstein, Eric W., "Sine" from MathWorld
↑ Abramowitz and Stegun, p. 77, 4.3.105–110
↑ Abramowitz and Stegun, p. 82, 4.4.52–57
↑
• Nepoznat parametar: last
• Nepoznat parametar: first
• Nedostaje obavezni parametar: url
• Parametar isbn nije dopušten u klasi web
• Parametar location nije dopušten u klasi web
• Parametar pages nije dopušten u klasi web
↑ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.26–31
↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.23

Izvori

• Nepoznat parametar: editor2-first
• Nepoznat parametar: editor1-first
• Nepoznat parametar: editor1-last
• Nepoznat parametar: postscript
• Nepoznat parametar: editor2-link
• Nepoznat parametar: editor2-last
• Nepoznat parametar: editor1-link
• Nedostaje obavezni parametar: url
• Parametar isbn nije dopušten u klasi web
• Parametar location nije dopušten u klasi web
• Prazan parametar: postscript

Vanjske poveznice

Values of Sin and Cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of 5⅝°, Csc and Sec, Tan.

[1] Abramowitz and Stegun, p. 73, 4.3.45

[2] Abramowitz and Stegun, p. 78, 4.3.147

[3] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15

[4] The Elementary Identities

[5] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.9

[6] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–8

[7] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16

[8] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17

[9] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18

[10] Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.42

[11] Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.43

[12] Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.36

[13] Bronstein, Manual (1989). "Simplification of Real Elementary Functions". Proceedings of the ACM-SIGSAM 1989 international symposium on Symbolic and algebraic computation: 211

[14] Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.48

[15] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.24–26

[16] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22

[17] Ken Ward's Mathematics Pages, http://www.trans4mind.com/personal_development/mathematics/trigonometry/multipleAnglesRecursiveFormula.htm

[18] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.31–33

[19] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.34–39

[20] Warren P. Johnson, "Trigonometric Identities à la Hermite", American Mathematical Monthly, volume 117, number 4, April 2010, pages 311–327

[21] Proof at http://pages.pacificcoast.net/~cazelais/252/lc-trig.pdf

[Muniz-22] Eddie Ortiz Muñiz (veljača 1953). "A Method for Deriving Various Formulas in Electrostatics and Electromagnetism Using Lagrange's Trigonometric Identities". American Journal of Physics 21 (2): 140

[23] 
• Nepoznat parametar: chapter
• Nedostaje obavezni parametar: url
• Parametar isbn nije dopušten u klasi web
• Parametar edition nije dopušten u klasi web

[24] Michael P. Knapp, Sines and Cosines of Angles in Arithmetic Progression

[25] Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.47

[26] Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.2

[27] Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.1

[28] Abramowitz and Stegun, p. 75, 4.3.89–90

[29] Abramowitz and Stegun, p. 85, 4.5.68–69

[30] Weisstein, Eric W., "Sine" from MathWorld

[31] Abramowitz and Stegun, p. 77, 4.3.105–110

[32] Abramowitz and Stegun, p. 82, 4.4.52–57

[33] 
• Nepoznat parametar: last
• Nepoznat parametar: first
• Nedostaje obavezni parametar: url
• Parametar isbn nije dopušten u klasi web
• Parametar location nije dopušten u klasi web
• Parametar pages nije dopušten u klasi web

[34] Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.26–31

[35] Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.23

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

@@ Redak 683: / Redak 683: @@
 {{cite journal |author=Eddie Ortiz Muñiz |year=1953 |month=February |volume=21 |number=2 |title=A Method for Deriving Various Formulas in Electrostatics and Electromagnetism Using Lagrange's Trigonometric Identities |journal=American Journal of Physics |page=140}}
 </ref><ref>
-{{cite book |title=Handbook of Mathematical Formulas and Integrals |edition=4th |author=Alan Jeffrey and Hui-hui Dai |chapter=Section 2.4.1.6 |isbn=9780123742889 |year=2008 |publisher=Academic Press}}
+{{Citiranje knjige |title=Handbook of Mathematical Formulas and Integrals |edition=4th |author=Alan Jeffrey and Hui-hui Dai |chapter=Section 2.4.1.6 |isbn=9780123742889 |year=2008 |publisher=Academic Press}}
 </ref>
@@ Redak 868: / Redak 868: @@
 :<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x }{x}=0,</math>
-Deriviranjem trigonometrijskih funkcija dobivaju se sljedeće jednakosti i pravila:<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;77, 4.3.105&ndash;110</ref><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;82, 4.4.52&ndash;57</ref><ref>{{cite book
+Deriviranjem trigonometrijskih funkcija dobivaju se sljedeće jednakosti i pravila:<ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;77, 4.3.105&ndash;110</ref><ref>Abramowitz and Stegun, p.&nbsp;82, 4.4.52&ndash;57</ref><ref>{{Citiranje knjige
    | last =Finney
    | first =Ross