Eulerov identitet

U matematičkoj analizi Eulerov identitet predstavlja sljedeću jednakost imenovanu po Leonhardu Euleru:

$e^{i\pi }+1=0\,\!$

gdje je

• $e\,\!$ Eulerov broj, baza prirodnih logaritama,
• $i\,\!$ imaginarna jedinica čiji kvadrat daje −1,
• $\pi \,\!$ pi, realni broj i omjer opsega kružnice i njezina promjera.

Eksponencijalna funkcija e^z može se definirati kao limes niza (1 + z/N)^N. Tako da kada N teži u beskonačnost time je i e^iπ limes od (1 + iπ/N)^N. Može se pokazati da se za dovoljno veliki N, izraz (1 + iπ/N)^Npribližava svom limesu koji iznosi −1.

Eulerova jednakost se od strane mnogih smatra izuzetnim jer na jednostavan način povezuje tri osnovne matematičke operacije (zbrajanje, množenje i potenciranje) te povezuje čak pet fundamentalnih matematičkih konstanti i to brojeve 0, 1, π, e i imaginarni broj i. Svaka od tih konstanti na poseban je način temeljna u teoriji brojeva, geometriji i trigonometriji, statistici, području kompleksnih brojeva i drugdje. Eulerovu jednakost mnogi smatraju jednim od najljepših teorema u matematici.

Izvod

Radi se o posebnom slučaj Eulerove formule koja ustanovljava da je

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!$

za svaki realni broj x određen u radijanima.

Na taj način je i

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .\,\!$

te kako je

$\cos \pi =-1\,\!$

i

$\sin \pi =0,\,\!$

slijedi da je

$e^{i\pi }=-1,\,\!$

iz čega slijedi konačan oblik jednakosti:

$e^{i\pi }+1=0.\,\!$

Poopćenje identiteta

Eulerov identitet je poseban slučaj općenitije jednakosti:

$\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi ik/n}=0.$

Eulerov identitet je slučaj n = 2.

Objašnjenje

Postoji jednostavno konceptualno objašnjenje ove jednakosti. Množenjem dva kompleksna broja $z_{1},z_{2}$ (lako se dokaže pretvorbom u trigonometrijski oblik) dobivamo treći $z_{3}\in \mathbb {C}$ kojemu je modul (ili intezitet) jednak umnošku modula $z_{1},z_{2},$ a argument (prikloni kut) mu je jednak zbroju argumenata $z_{1},z_{2}.$

Dakle, potenciranjem nekog kompleksnog broja $(a+bi)^{n}$ dobivamo logaritamsku spiralu.

Iz realne analize je poznato da vrijedi $e^{x}=\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {x}{n}})^{n}$ pa definiramo $e^{xi}=(1+{\frac {xi}{n}})^{n}.$ Uočimo da ovdje potenciramo neki kompleksni broj $N=1+{\frac {x}{n}}i$. Kako $n\rightarrow \infty ,$ ordinata broja $N$ se smanjuje. Dakle, modul od $N$ teži u $1,$ a kut teži u ${\frac {x}{n}}.$ Zbog toga što $N$ množimo sa sobom $n$ puta, spirala se pretvara u jediničnu kružnicu pa zaista vrijedi $e^{xi}=\cos {x}+i\sin {x}.$

Kako je $\pi \ {\text{rad}}=180^{\circ },$ slijedi $e^{i\pi }=-1.$