Eulerova jednakost

U matematičkoj analizi Eulerov identitet predstavlja sljedeću jednakost imenovanu po Leonhardu Euleru:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,\!}

gdje je

• $e\,\!$ Eulerov broj, baza prirodnih logaritama,
• $i\,\!$ imaginarna jedinica čiji kvadrat daje −1,
• $\pi \,\!$ pi, realni broj i omjer opsega kružnice i njezina promjera.

Eksponencijalna funkcija e^z može se definirati kao limes niza (1 + z/N)^N. Tako da kada N teži u beskonačnost time je i e^iπ limes od (1 + iπ/N)^N. Može se pokazati da se za dovoljno veliki N, izraz (1 + iπ/N)^Npribližava svom limesu koji iznosi −1.

Eulerova jednakost se od strane mnogih smatra izuzetnim jer na jednostavan način povezuje tri osnovne matematičke operacije (zbrajanje, množenje i potenciranje) te povezuje čak pet fundamentalnih matematičkih konstanti i to brojeve 0, 1, π, e i imaginarni broj i. Svaka od tih konstanti na poseban je način temeljna u teoriji brojeva, geometriji i trigonometriji, statistici, području kompleksnih brojeva i drugdje. Eulerovu jednakost mnogi smatraju jednim od najljepših teorema u matematici.

Izvod

Radi se o posebnom slučaj Eulerove formule koja ustanovljava da je

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!$

za svaki realni broj x određen u radijanima.

Na taj način je i

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .\,\!$

te kako je

$\cos \pi =-1\,\!$

i

$\sin \pi =0,\,\!$

slijedi da je

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{i \pi} = -1,\,\!}

iz čega slijedi konačan oblik jednakosti:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{i \pi} +1 = 0.\,\!}

Poopćenje identiteta

Eulerov identitet je poseban slučaj općenitije jednakosti:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .}

Eulerov identitet je slučaj n = 2.

Objašnjenje

Postoji jednostavno konceptualno objašnjenje ove jednakosti. Množenjem dva kompleksna broja Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z_1, z_2 } (lako se dokaže pretvorbom u trigonometrijski oblik) dobivamo treći Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z_3 \in \mathbb{C} } kojemu je modul (ili intezitet) jednak umnošku modula Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z_1, z_2, } a argument (prikloni kut) mu je jednak zbroju argumenata Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z_1, z_2. }

Dakle, potenciranjem nekog kompleksnog broja Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a + bi)^n } dobivamo logaritamsku spiralu.

Iz realne analize je poznato da vrijedi Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^x = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n } pa definiramo Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{xi} = (1 + \frac{xi}{n})^n. } Uočimo da ovdje potenciramo neki kompleksni broj $N=1+{\frac {x}{n}}i$. Kako Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \rightarrow \infty, } ordinata broja $N$ se smanjuje. Dakle, modul od $N$ teži u $1,$ a kut teži u ${\frac {x}{n}}.$ Zbog toga što $N$ množimo sa sobom $n$ puta, spirala se pretvara u jediničnu kružnicu pa zaista vrijedi $e^{xi}=\cos {x}+i\sin {x}.$

Kako je $\pi \ {\text{rad}}=180^{\circ },$ slijedi $e^{i\pi }=-1.$