Eulerov identitet

U matematičkoj analizi Eulerov identitet predstavlja sljedeću jednakost imenovanu po Leonhardu Euleru:

[math]\displaystyle{ e^{i \pi} + 1 = 0 \,\! }[/math]

gdje je

• [math]\displaystyle{ e\,\! }[/math] Eulerov broj, baza prirodnih logaritama,
• [math]\displaystyle{ i\,\! }[/math] imaginarna jedinica čiji kvadrat daje −1,
• [math]\displaystyle{ \pi\,\! }[/math] pi, realni broj i omjer opsega kružnice i njezina promjera.

Eksponencijalna funkcija e^z može se definirati kao limes niza (1 + z/N)^N. Tako da kada N teži u beskonačnost time je i e^iπ limes od (1 + iπ/N)^N. Može se pokazati da se za dovoljno veliki N, izraz (1 + iπ/N)^Npribližava svom limesu koji iznosi −1.

Eulerova jednakost se od strane mnogih smatra izuzetnim jer na jednostavan način povezuje tri osnovne matematičke operacije (zbrajanje, množenje i potenciranje) te povezuje čak pet fundamentalnih matematičkih konstanti i to brojeve 0, 1, π, e i imaginarni broj i. Svaka od tih konstanti na poseban je način temeljna u teoriji brojeva, geometriji i trigonometriji, statistici, području kompleksnih brojeva i drugdje. Eulerovu jednakost mnogi smatraju jednim od najljepših teorema u matematici.

Izvod

Radi se o posebnom slučaj Eulerove formule koja ustanovljava da je

[math]\displaystyle{ e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\! }[/math]

za svaki realni broj x određen u radijanima.

Na taj način je i

[math]\displaystyle{ e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\! }[/math]

te kako je

[math]\displaystyle{ \cos \pi = -1 \, \! }[/math]

i

[math]\displaystyle{ \sin \pi = 0,\,\! }[/math]

slijedi da je

[math]\displaystyle{ e^{i \pi} = -1,\,\! }[/math]

iz čega slijedi konačan oblik jednakosti:

[math]\displaystyle{ e^{i \pi} +1 = 0.\,\! }[/math]

Poopćenje identiteta

Eulerov identitet je poseban slučaj općenitije jednakosti:

[math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 . }[/math]

Eulerov identitet je slučaj n = 2.

Objašnjenje

Postoji jednostavno konceptualno objašnjenje ove jednakosti. Množenjem dva kompleksna broja [math]\displaystyle{ z_1, z_2 }[/math] (lako se dokaže pretvorbom u trigonometrijski oblik) dobivamo treći [math]\displaystyle{ z_3 \in \mathbb{C} }[/math] kojemu je modul (ili intezitet) jednak umnošku modula [math]\displaystyle{ z_1, z_2, }[/math] a argument (prikloni kut) mu je jednak zbroju argumenata [math]\displaystyle{ z_1, z_2. }[/math]

Dakle, potenciranjem nekog kompleksnog broja [math]\displaystyle{ (a + bi)^n }[/math] dobivamo logaritamsku spiralu.

Iz realne analize je poznato da vrijedi [math]\displaystyle{ e^x = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n }[/math] pa definiramo [math]\displaystyle{ e^{xi} = (1 + \frac{xi}{n})^n. }[/math] Uočimo da ovdje potenciramo neki kompleksni broj [math]\displaystyle{ N = 1 + \frac{x}{n}i }[/math]. Kako [math]\displaystyle{ n \rightarrow \infty, }[/math] ordinata broja [math]\displaystyle{ N }[/math] se smanjuje. Dakle, modul od [math]\displaystyle{ N }[/math] teži u [math]\displaystyle{ 1, }[/math] a kut teži u [math]\displaystyle{ \frac{x}{n}. }[/math] Zbog toga što [math]\displaystyle{ N }[/math] množimo sa sobom [math]\displaystyle{ n }[/math] puta, spirala se pretvara u jediničnu kružnicu pa zaista vrijedi [math]\displaystyle{ e^{xi} = \cos{x} + i\sin{x}. }[/math]

Kako je [math]\displaystyle{ \pi \ \text{rad} = 180^\circ, }[/math] slijedi [math]\displaystyle{ e^{i\pi} = - 1. }[/math]