Vektorski produkt

Pravilo desne ruke određuje orijentaciju vektorskog produkta

Vektorski produkt (rjeđe vektorski umnožak) je binarna matematička operacija na dva vektora u euklidskom trodimenzionalnom prostoru. Označava se simbolom ×. Za dva linearno nezavisna vektora ${\overrightarrow {a}}$ i ${\overrightarrow {b}}$ , njihov vektorski produkt ${\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}$ je vektor koji je okomit na oba vektora (normala na ravninu koju ti vektori razapinju), a njegov iznos je jednak površini paralelograma kojeg ta dva vektora razapinju. Orijentaciju vektora daje nam pravilo desne ruke. U slučaju da vektori ${\overrightarrow {a}}$ i ${\overrightarrow {b}}$ nisu linearno nezavisni (dakle jedan je linearna kombinacija drugoga, odnosno imaju isti smjer), njihov vektorski produkt je nul-vektor.

Formalna definicija

Vektorski produkt se definira kao operacija $\times :(E^{3},E^{3})\rightarrow E^{3}$ za koju vrijedi

{\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}=(|{\overrightarrow {a}}|\times |{\overrightarrow {b}}|\sin \theta ){\overrightarrow {n}}

gdje su ${\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}}\in E^{3},$ $\theta$ kut između dvaju vektora, a ${\overrightarrow {n}}$ vektor okomit na vektore ${\overrightarrow {a}}$ i ${\overrightarrow {b}}$ .

Definira se i pomoću determinante:

{\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}={\begin{vmatrix}{\overrightarrow {i}}&{\overrightarrow {j}}&{\overrightarrow {k}}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}=

={\overrightarrow {i}}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})-{\overrightarrow {j}}(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})+{\overrightarrow {k}}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})=

{\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}

gdje su ${\overrightarrow {i}}=(1,0,0)$ , ${\overrightarrow {j}}=(0,1,0)$ i : ${\overrightarrow {k}}=(0,0,1)$ vektori kanonske baze trodimenzionalnog euklidskog vektorskog prostora, E³.

Svojstva

Iznos vektorskog produkta dvaju vektora je površina paralelograma razapetog tim vektorima

|{\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}|=|{\overrightarrow {a}}||{\overrightarrow {b}}||\sin \theta |

Vektorski produkt vektora samog sa sobom je nul-vektor.

{\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {a}}={\overrightarrow {0}}

Vektorski produkt okomit je na oba vektora koji ga čine
Antikomutativan je

{\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}=-({\overrightarrow {b}}\times {\overrightarrow {a}})

Distributivan je prema zbrajanju

{\overrightarrow {a}}\times ({\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {c}})=({\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}})+({\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {c}})

Za množenje skalarom vrijedi:

(\alpha \cdot {\overrightarrow {a}})\times {\overrightarrow {b}}={\overrightarrow {a}}\times (\alpha \cdot {\overrightarrow {b}})=\alpha \cdot ({\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}})

Nije asocijativan
Ne može se kratiti, tj. ako vrijedi ${\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}={\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {c}}$ i ${\overrightarrow {a}}\neq {\overrightarrow {0}}$ , ne slijedi ${\overrightarrow {b}}={\overrightarrow {c}}$ , nego samo ${\overrightarrow {a}}\times ({\overrightarrow {b}}-{\overrightarrow {c}})={\overrightarrow {0}}$ kroz distributivnost prema zbrajanju. Ta jednakost može biti zadovoljena ako su vektori ${\overrightarrow {b}}$ i ${\overrightarrow {c}}$ jednaki, ali i ako su ${\overrightarrow {a}}$ i ${\overrightarrow {b}}-{\overrightarrow {c}}$ paralelni, tj. linearna kombinacija jedan drugoga.

Također pogledati