Vektorski produkt

Pogreška pri izradbi sličice:

Pravilo desne ruke određuje orijentaciju vektorskog produkta

Pogreška pri izradbi sličice:

Iznos vektorskog produkta dvaju vektora jednak je površini paralelograma kojeg razapinju

Vektorski produkt (rjeđe vektorski umnožak) je binarna matematička operacija na dva vektora u euklidskom trodimenzionalnom prostoru. Označava se simbolom ×. Za dva linearno nezavisna vektora ${\overrightarrow {a}}$ i ${\overrightarrow {b}}$, njihov vektorski produkt Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}} je vektor koji je okomit na oba vektora (normala na ravninu koju ti vektori razapinju), a njegov iznos je jednak površini paralelograma kojeg ta dva vektora razapinju. Orijentaciju vektora daje nam pravilo desne ruke. U slučaju da vektori Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{a}} i Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{b}} nisu linearno nezavisni (dakle jedan je linearna kombinacija drugoga, odnosno imaju isti smjer), njihov vektorski produkt je nul-vektor.

Formalna definicija

Vektorski produkt se definira kao operacija Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \times :(E^{3},E^{3})\rightarrow E^{3}} za koju vrijedi

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (|\overrightarrow{a}| \times |\overrightarrow{b}| \sin\theta) \overrightarrow{n}}

gdje su Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} \in E^3,} Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta} kut između dvaju vektora, a Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{n}} vektor okomit na vektore Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{a}} i Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{b}} .

Definira se i pomoću determinante:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} =}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle = \overrightarrow{i} (a_2 b_3-a_3 b_2) - \overrightarrow{j} (a_1 b_3-a_3 b_1) + \overrightarrow{k} (a_1 b_2 - a_2 b_1)=} Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{pmatrix} a_2 b_3-a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}}

gdje su Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{i}=(1,0,0)} , ${\overrightarrow {j}}=(0,1,0)$ i :Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{k}=(0,0,1)} vektori kanonske baze trodimenzionalnog euklidskog vektorskog prostora, E³.

Svojstva

• Iznos vektorskog produkta dvaju vektora je površina paralelograma razapetog tim vektorima

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle | \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} | = | \overrightarrow{a} | | \overrightarrow{b} | | \sin\theta |}

• Vektorski produkt vektora samog sa sobom je nul-vektor.

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {a}}={\overrightarrow {0}}}

• Vektorski produkt okomit je na oba vektora koji ga čine
• Antikomutativan je

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}=-({\overrightarrow {b}}\times {\overrightarrow {a}})}

• Distributivan je prema zbrajanju

${\overrightarrow {a}}\times ({\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {c}})=({\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}})+({\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {c}})$

• Za množenje skalarom vrijedi:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (\alpha \cdot {\overrightarrow {a}})\times {\overrightarrow {b}}={\overrightarrow {a}}\times (\alpha \cdot {\overrightarrow {b}})=\alpha \cdot ({\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}})}

• Nije asocijativan
• Ne može se kratiti, tj. ako vrijedi Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}} i Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}} , ne slijedi Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\overrightarrow {b}}={\overrightarrow {c}}} , nego samo ${\overrightarrow {a}}\times ({\overrightarrow {b}}-{\overrightarrow {c}})={\overrightarrow {0}}$ kroz distributivnost prema zbrajanju. Ta jednakost može biti zadovoljena ako su vektori ${\overrightarrow {b}}$ i Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\overrightarrow {c}}} jednaki, ali i ako su ${\overrightarrow {a}}$ i Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\overrightarrow {b}}-{\overrightarrow {c}}} paralelni, tj. linearna kombinacija jedan drugoga.

Također pogledati

• Skalarni produkt
• Mješoviti produkt