Determinanta

U matematici je determinanta skalar svojstven kvadratnoj matrici koji ima mnoga korisna svojstva u linearnoj algebri. Označava se obično s [math]\displaystyle{ \det A }[/math] ili [math]\displaystyle{ |A| }[/math]. Determinanta matrice koja je zadana svojim elementima može se označiti tako da se umjesto uglatih zagrada matrice napišu ravne zagrade determinante.

Formula

Za 2×2 matricu determinanta iznosi:

[math]\displaystyle{ \det \begin{bmatrix} a & b \\c & d \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\c & d \end{vmatrix} = ad - bc. }[/math]

Za 3×3 matricu Laplaceova formula glasi:

[math]\displaystyle{ \begin{vmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\end{vmatrix} = a\begin{vmatrix}e&f\\ h&i\end{vmatrix} - b\begin{vmatrix}d&f\\ g&i\end{vmatrix} + c\begin{vmatrix}d&e\\ g&h\end{vmatrix} }[/math]

što se može dalje pojednostaviti u Leibnizovu formulu:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix} &= a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) \\ &= aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh. \end{align} }[/math]

n×n matrice

Generalna Leibnizova formula za n×n matrice glasi:

[math]\displaystyle{ \det\ [a_{ij}] = \sum_{\sigma \in S_n} \left( \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma_i}\right) }[/math]

gdje suma iterira po elementima σ od skupa S_n koji sadrži permutacije skupa {1, 2, ..., n}. Funkcija sgn označava parnost permutacije, te daje +1 ako se ta permutacija može dobiti iz permutacije [1 2 3 ... n] parnim brojem zamjena mjesta dvaju brojeva u permutaciji (tj. ako je permutacija parna), a -1 ako neparnim. σ_i iznačava i-ti broj u toj permutaciji. Primjerice, ako imamo permutaciju σ = [1 3 2 4], σ₁ = 1, σ₂ = 3, σ₃ = 2, σ₄ = 4. Kako zamjenom drugog i trećeg elementa dobivamo [1 2 3 4], tako je ta permutacija neparna i sgn(σ) = -1.

Produkt [math]\displaystyle{ \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma_i} }[/math] označava umnožak n elemenata matrice tako da je iz i-tog reda odabran element u σ_i-tom stupcu. Tako za permutaciju [1 3 2 4] uzimamo umnožak a₁₁a₂₃a₃₂a₄₄ (te ga ne zbrajamo nego oduzimamo jer se radi o neparnoj permutaciji, kao što je ranije napomenuto). Prolazeći kroz elemente S_n formula prolazi kroz sve načine kako odabrati n elemenata tako da je točno po jedan iz svakog reda i svakog stupca.

Primjenom ove formule na 2×2 i 3×3 matrice dobivaju se pojednostavljene formule za determinante tih matrica koje su navedene gore.

Pomoću minora

Determinanta se može izračunati i rekurzivno, računanjem determinanti minora matrice. Minora n×n matrice je (n-1)×(n-1) matrica koju dobivamo tako da odstranimo jedan redak i jedan stupac početne matrice. Ovako determinantu računamo tako da za svaki element u jednom redu (ili stupcu) izračunamo determinantu minore koja ne sadrži redak i stupac u kojem je taj element, te ju pomnožimo s dotičnim elementom. Dobivene umnoške naizmjence zbrajamo i oduzimamo. Prvi element se pribraja, drugi oduzima, treći pribraja itd. ako smo računali minore po elementima neparnog reda ili stupca matrice, a inače se prvi element oduzima, drugi pribraja, treći oduzima itd.

Primjer za ovakav način računanja determinante je gore navedena Laplaceova formula za determinantu 3×3 matrice, gdje se za računanje koriste determinante 2×2 minora dobivene odstranjivanjem elemenata u 1. redu 3×3 matrice.

Svojstva

Determinanta jedinične matrice iznosi 1.

[math]\displaystyle{ \det I = 1 }[/math]

Transpozicija matrice ne mijenja determinantu.

[math]\displaystyle{ \det A^T = \det A }[/math]

Determinanta inverza matrice je recipročna vrijednost determinante originalne matrice.

[math]\displaystyle{ \det A^{-1} = (\det A)^{-1} }[/math]

Ako je matrica singularna (nema inverz), njezina determinanta iznosi 0. Inače je matrica regularna.
Kada je definiran umnožak dvaju matrica, tada je determinanta umnoška tih matrica jednaka umnošku determinanti.

[math]\displaystyle{ \det AB = \det A \cdot \det B }[/math]

Ako pomnožimo n×n matricu skalarom α, njezina determinanta povećava se αⁿ puta.

[math]\displaystyle{ \det (\alpha A) = \alpha^n \det A }[/math]

Ako bilo koji red ili stupac sadrži samo nule, tada je i determinanta matrice nula.
Ako se bilo koji red ili stupac može izraziti kao linearna kombinacija preostalih redova (odnosno stupaca), tada je determinanta matrice nula.
Zamjenom pozicije bilo koja dva reda (ili dva stupca) determinanta se množi s -1.
Ako bilo kojem redu (ili stupcu) dodamo linearnu kombinaciju nekih iz preostalih redova (ili stupaca), determinanta ostaje ista.
Determinanta trokutaste matrice jednaka je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali.

Vidi