Normala
Normala je najopćenitije pravac ili vektor koji je okomit na objekt o kojem se govori (npr. normala na krivulju, normala na površinu i sl.).
Normala na krivulju
Normala na krivulju [math]\displaystyle{ y = f(x) }[/math] u točki [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] predstavlja pravac koji prolazi kroz točku [math]\displaystyle{ (x_0, f(x_0)) }[/math] i okomit je na tangentu krivulje u toj točki. Budući da je interpretacija prve derivacije funkcije koeficijent smjera pravca, od. tangente, to je jednadžba normale
- [math]\displaystyle{ y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0), }[/math]
uz pretpostavku da prva derivacija ne iščezaje u točki [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], tj. [math]\displaystyle{ (f'(x_0) \neq 0). }[/math]
Ako je [math]\displaystyle{ f'(x_0) = 0 }[/math], tada je jednadžba normale [math]\displaystyle{ x = x_0 }[/math], tj. normala je očito paralelna s [math]\displaystyle{ y }[/math]-osi.
Vektor normale je vektor koji leži na prethodno definiranom pravcu – normali. Pod pojmom normala, dakle, nekad razumijevamo prethodno definirani pravac, a nekad vektor koji leži na tom pravcu. Vektor normale po dogovoru najčešće gleda „van” krivulje.
Normala na površinu
Vektor normale na površinu u točki [math]\displaystyle{ T }[/math] je vektor okomit na tangencijalnu ravninu površine u točki [math]\displaystyle{ T }[/math]. U slučaju ravne površine, očito je to vektor okomit na samu tu ravninu, i dan je vektorskim produktom bilo kojih dvaju vektora koja leže u ravnini. Ravnina, dakle, može imati normalu u dva smjera.
Normala na opću površinu, parametriziranu sustavom krivolinijskih koordinata [math]\displaystyle{ \mathbf{x}(s, t) }[/math], gdje su [math]\displaystyle{ s }[/math] i [math]\displaystyle{ t }[/math] realne varijable, dana je vektorskim umnoškom parcijalnih derivacija po respektivnim koordinatama:
- [math]\displaystyle{ {\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}. }[/math]
Normala na opću površinu, zadanu implicitno jednadžbom
- [math]\displaystyle{ f(x, y, z) = 0, }[/math]
u točki [math]\displaystyle{ T = (x, y, z) }[/math] dana je gradijentom:
- [math]\displaystyle{ \nabla f(x,y,z). }[/math]
Iznimke
Ako određena površina u nekoj točki nema definiranu tangencijalnu ravninu, onda tu nema definiranu ni normalu. Tako, npr., valjak nema definiranu normalu na spoju plašta i dna, stožac nema normale u vrhu; u dvije dimenzije, funkcija [math]\displaystyle{ f(x) = |x| }[/math] nema definiranu normalu u ishodištu.
Jedinstvenost
Već smo kod normale na krivulju mogli nazreti da normala nema jedinstven smjer – vektor normale na pravac već ima dva moguća smjera. Za orjentiranu površinu, normala se određuje pravilom desne ruke, tj., rečeno intuitivno, „gleda prema van”.