Euklidski prostor
Euklidski vektorski prostor ili skraćeno euklidski prostor prvenstveno možemo smatrati onim matematičkim prostorom kojeg intuitivno svakodnevno zamišljamo. Naziv je dobio po starogrčkom matematičaru Euklidu.
Definicija
Neka je [math]\displaystyle{ V }[/math] realni vektorski prostor i neka je [math]\displaystyle{ \psi: V\times V \to \mathbb{R} }[/math] preslikavanje sa sljedećim svojstvima (napišimo [math]\displaystyle{ v\cdot w }[/math] umjesto [math]\displaystyle{ \psi (v,w) }[/math]) za svaki [math]\displaystyle{ u, v, w, \in V }[/math] i [math]\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R} }[/math] :
- [math]\displaystyle{ v\cdot w = w \cdot v; }[/math]
- [math]\displaystyle{ (u+v)\cdot w = u\cdot w + v\cdot w; }[/math]
- [math]\displaystyle{ \alpha (v\cdot w)=(\alpha v)\cdot w = v\cdot (\alpha w); }[/math]
- [math]\displaystyle{ w\cdot w \gt 0 \mbox{ ako i samo ako je } v\neq 0. }[/math]
Tada se [math]\displaystyle{ \psi }[/math] zove skalarni produkt na [math]\displaystyle{ V }[/math].
Ako na [math]\displaystyle{ V }[/math] postoji skalarni produkt, onda se [math]\displaystyle{ V }[/math] zove euklidski vektorski prostor.
Euklidska norma
Euklidska norma ili duljina vektora [math]\displaystyle{ w }[/math] je broj
- [math]\displaystyle{ \| w \| = \sqrt{w\cdot w}. }[/math]
Iz elementarne analize slijedi da je skalarni produkt između dva vektora koja su pod kutem [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]:
- [math]\displaystyle{ v\cdot w = \| v \| \cdot \| w \| \cdot \cos \varphi, }[/math]
tj. kut [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] između vektora [math]\displaystyle{ v, w \in V }[/math] definiran je s
- [math]\displaystyle{ \varphi = \arccos \left( \frac{v\cdot w}{\| v \| \cdot \| w \|} \right) . }[/math]
Ako je [math]\displaystyle{ v\cdot w = 0 }[/math], očito je [math]\displaystyle{ \varphi = \frac{\pi}{2} }[/math], pa kažemo da su [math]\displaystyle{ v }[/math] i [math]\displaystyle{ w }[/math] okomiti ili ortogonalni vektori.