Krivulje drugog reda

Vrste krivulja drugog reda:
1. parabola,
2. kružnica (dolje) i elipsa (gore),
3. hiperbola.

Presjeci stošca ravninom mogu biti krug, elipsa, parabola ili hiperbola.

Krivulje drugog reda, konike (prema konus) ili čunjosječnice su algebarske ravninske krivulje drugoga reda nastale presjekom ravnine i kružne dvostruke stožaste plohe. To su kružnica, elipsa, parabola i hiperbola, te njihove degeneracije: par ukrštenih pravaca (ako presječna ravnina prolazi kroz vrh stošca), odnosno par usporednih pravaca (ako se vrh stošca pomakne u beskonačnost). Koja od krivulja će nastati ovisi o kutu koji ravnina zatvara s osi i izvodnicom stošca.

Geometrijski dokaz povezanosti presjeka stošca ravninom s kružnicom, elipsom, hiperbolom i parabolom izveo je francuski matematičar Dandelin sredinom 19. stoljeća. Dokaz se služi tzv. Dandelinovim kuglama.

U pravokutnom Kartezijevu koordinatnom sustavu konike su određene općom jednadžbom:

$A\cdot x^{2}+B\cdot x\cdot y+C\cdot y^{2}+D\cdot x+E\cdot y+F=0,$

Na primjer ako je A = C i B = 0, jednadžba opisuje kružnicu.

Konike su određene s 5 točaka. Ako 3 točke konike leže na istom pravcu, konika je degenerirana. Po takvim se krivuljama gibaju nebeska tijela manje mase u gravitacijskome polju nebeskog tijela veće mase.

Uvjet A² + B ² +C² ≠ 0 označava da je lijeva strana polinom drugog stupnja s varijablama x, y.

Svojstva konika:

konika	normalna jednadžba	numerički ekscentricitet ε	linearni ekscentricitet e
kružnica	$x^{2}+y^{2}=r^{2}\,$	$0\,$	$0\,$
elipsa	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$
parabola	$x^{2}=4\cdot a\cdot y\,$	$1\,$	-
hiperbola	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Kružnica

Podrobniji članak o temi: Kružnica

Neka je r > 0 i S točka u ravnini. Kružnica radijusa r sa središtem u S je skup točaka te ravnine od kojih je svaka od njih za r udaljena od S. Ako je u koordinantnom sustavu x0y točka S (x₀, y₀) onda jednadžba kružnice glasi

(x-x₀) ² + (y -y₀) ² =r ²

Za (x₀, y₀) = (0,0) imamo kružnicu sa centrom u koordinantnom početku i radijusom r koja glasi

x² + y ² = r ²

Jednadžba x² + y ² =0 predstavlja točku (0, 0).

Elipsa

Podrobniji članak o temi: Elipsa

Neka je 2a> 0 realan broj ,F₁ i F₂ različite točke ravnine čija je udaljenost

│F₁ F₂│ = 2e < 2a.

Elipsa sa žarištima u F₁ i F₂ je skup točaka ravni sa osobinom da za svaku tačku skupa vrijedi

│F₁T│ + │F₂ T│= 2 a

Ako točke F₁ i F₂ leže na x osi sustava x0y i imaju koordinate F₁( -e,0) i F₂ ( e ,0) jednadžba elipse glasi

b² x² + a² y ² = a²b ²

Hiperbola

Podrobniji članak o temi: Hiperbola

Neka je 2a< 2e realan broj , F₁ i F₂ različite točke ravnine čija je udaljenost

│F₁ F₂│= 2e > 2a.

Hiperbola sa žarištima F₁ i F₂ je skup točaka ravnine sa osobinom da za svaku točku T tog skupa vrijedi

│F₁T│ - │F₂ T│= 2 a

Za F₁ ( -e, 0) i F₂ (e , 0) vrijedi

b² x²- a² y ² = a²b ²

Parabola

Podrobniji članak o temi: Parabola

Neka su u ravnini zadani pravac i točka van tog pravca. Parabola je skup točaka te ravnine od kojih je svaka udaljena od zadanog pravca isto koliko i od zadane točke. Dana točka je žarište, a pravac ravnalica parabole.

Ako je p udaljenost od ravnalice, a žarište je u sustavu x0y i ima koordinate (0, p/2), jednadžba parabole glasi

y² = 2px