Polinom

Polinom je matematička funkcija s jednom ili više varijabla koja se može zapisati kao linearna kombinacija umnožaka njihovih potencija, odnosno kao zbroj monoma sastavljenih od umnožaka konstante i kombinacija potencija svake od varijabla. Polinom n-tog stupnja u jednoj varijabli je funkcija

[math]\displaystyle{ P(x) = a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a_1x + a_0 }[/math]

u kojoj su koeficijenti je [math]\displaystyle{ a_0 }[/math], [math]\displaystyle{ a_1 }[/math],..., [math]\displaystyle{ a_n }[/math] konstante i [math]\displaystyle{ a_n \neq 0 }[/math]. Broj [math]\displaystyle{ a_0 }[/math] zove se slobodni koeficijent, a broj [math]\displaystyle{ a_n }[/math] vodeći koeficijent.

Polinomi se skraćeno zapisuju pomoću simbola za zbrajanje,

[math]\displaystyle{ P(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i }[/math] .

Ponekad se polinomom zove sam polinomni izraz sa zbrojem raznih potencija neke veličine ili izraza, pa se pripadna funkcija navodi kao polinomna funkcija.

Stupanj polinoma [math]\displaystyle{ P(x) = a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a_0 }[/math] za [math]\displaystyle{ a_n \neq 0 }[/math] je broj [math]\displaystyle{ n }[/math]. Pišemo [math]\displaystyle{ \text{deg}P = n }[/math].

Polinomi imaju ključnu ulogu u proučavanju algebarskih brojeva te su česti u drugim granama znanosti poput fizike i računarstva.

Monomi, binomi, trinomi, itd.

Pribrojnici u polinomu nazivaju se monomi; oni su i sami polinomi s jednim članom. Monom je umnožak konstante i bilo koje kombinacije potencija varijabla. Tako su, na primjer

[math]\displaystyle{ -7x^2 }[/math],  [math]\displaystyle{ 3x^2y }[/math],  [math]\displaystyle{ -\tfrac{1}{4}xy^5z^2 }[/math],  [math]\displaystyle{ \xi y^4 }[/math]

monomi u varijablama [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ y }[/math] i [math]\displaystyle{ z }[/math].

Polinom koji u temeljnom obliku ima samo dva člana naziva se binom. Polinom s tri člana je trinom. Tako je npr. kvadrat binoma jednak trinomu u dvije varijable:

[math]\displaystyle{ P(x, y) = (\underbrace{ x-y}_{\text{binom}})^2 = \underbrace{ x^2 - 2xy + y^2}_{\text{trinom}} }[/math]

[math]\displaystyle{ P(x, y) = (\underbrace{ x^2+y}_{\text{binom}})^2 = \underbrace{ x^4 +2x^2y + y^2}_{\text{trinom}} }[/math]

Nul-polinom

Ako je polinom jednak nuli za sve vrijednosti svojih varijabli nazivamo ga nul-polinom i za nj ne definiramo stupanj (ili se ponegdje formalno uzima da je njegov stupanj [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] ili [math]\displaystyle{ -1 }[/math], ovisno o autoru).

Računske operacije s polinomima

Dva polinoma možemo zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti. Zbrajanje i množenje je komutativno te vrijede uobičajena algebarska pravila. Rezultat dijeljenja dva polinoma nije uvijek polinom: očigledan primjer je dijeljenje polinoma [math]\displaystyle{ n }[/math]-tog stupnja polinomom [math]\displaystyle{ m }[/math]-tog stupnja kada je [math]\displaystyle{ n \lt m }[/math].

Uočimo da oduzeti dva polinoma možemo tako da polinom koji je u funkciji umanjitelja pomnožimo s [math]\displaystyle{ (- 1) }[/math] te ga zbrojimo s polinomom umanjenikom.

Primjeri

Uzmimo [math]\displaystyle{ P(x) = x^2 + x - 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ Q(x) = x - 1 }[/math].

Njihovi zbroj i umnožak su:

[math]\displaystyle{ P(x) + Q(x) = x^2 + 2x - 3 }[/math],

[math]\displaystyle{ P(x)\cdot Q(x) = x^3 - 3x + 2 }[/math].

Opišimo kako algoritamski podijeliti ova dva polinoma. Ovdje je, radi jednostavnosti, rezultat dijeljenja polinom. Želimo izračunati [math]\displaystyle{ \frac{P(x)}{Q(x)} = R(x). }[/math]

Ta jednadžba ekvivalentna je s [math]\displaystyle{ x^2 + x - 2 = (x - 1)R(x). }[/math] Prvi član polinoma [math]\displaystyle{ R(x) }[/math] jednak je [math]\displaystyle{ x }[/math] jer množenjem s [math]\displaystyle{ (x - 1) }[/math] mora dati član s jediničnim koeficijentom najveće potencije 2: [math]\displaystyle{ (x^2 + x - 2) = (x - 1)({\color{Red}x}+ \dots) }[/math]

Ostatak (...) je neki polinom [math]\displaystyle{ T(x) }[/math] pa u prvom koraku imamo

[math]\displaystyle{ (x^2 + x - 2) = (x - 1)({\color{Red}x}+ T(x)) }[/math]

[math]\displaystyle{ (x^2 + x - 2) = x^2 - x + (x - 1)T(x) }[/math].

Dobivamo [math]\displaystyle{ 2x - 2 = (x - 1)T(x) }[/math] čime je problem dijeljenja sveden na dijeljenje polinoma stupnja nižeg za 1.

U drugom koraku rješavamo [math]\displaystyle{ 2x - 2 = (x - 1)T(x) }[/math].

[math]\displaystyle{ T(x) }[/math] može jedino biti polinom stupnja 0 jer množeći [math]\displaystyle{ (x - 1) }[/math] ne smije dati potencije veće od 1: [math]\displaystyle{ 2x - 2 = (x - 1)({\color{Red}2}+\dots) }[/math].

Ostatak (...) može biti samo nulpolinom, tj. 0. Mogli smo uočiti da je [math]\displaystyle{ 2x - 2 = (x - 1)\cdot 2 }[/math].

Rješenje je [math]\displaystyle{ R(x) = ({\color{Red}x}+{\color{Red}2}+{\color{Red}0}) }[/math], odnosno [math]\displaystyle{ R(x) = x+2 }[/math].

Uporaba polinoma

Zbog jednostavnosti računanja s polinomima, posebno njihovog strojnog izvrjednjavanja, vrijedosti mnogih drugih funkcija često se aproksimiraju polinomom određenog stupnja na određenom intervalu. Ako je vrijednost funkcije poznata u konačno mnogo točaka, vrijednosti između točaka mogu se procijeniti interpolacijom iz polinoma koji u tim točkama daje egzaktne vrijednosti ili regresijom uz pomoć polinoma po volji izabranog stupnja koji po svim poznatim točkama daje najmanju pogrešku.

• 

  Vrijednosti nepoznate funkcije poznate su u sedam točaka

• 

  Vrijednosti između točaka mogu se procijeniti linearnom interpolacijom od točke do točke

• 

  Vrijednosti između točaka procijenjene interpolacijskim polinomom šestoga stupnja

Nultočke polinoma

U primjeni, kao i u teoriji, često je potrebno znati u kojim točkama polinomi poprimaju vrijednost nula. Te se točke nazivaju nultočkama ili korijenima polinoma. Ako je [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] nultočka polinoma [math]\displaystyle{ P(x) }[/math], vrijedi [math]\displaystyle{ P(\alpha)=0 }[/math]. Prema Bézoutovom poučku za polinome, [math]\displaystyle{ (x-\alpha) }[/math] tada dijeli [math]\displaystyle{ P(x) }[/math]. Iz ovog poučka i osnovnog teorema algebre, koji kaže da svaki polinom stupnja većeg od nule ima nultočku u skupu kompleksnih brojeva, slijedi da svaki polinom n-tog stupnja u jednoj varijabli ima točno n nultočaka u skupu kompleksnih brojeva, s tim da pritom neke nultočke mogu biti višestruke kratnosti, odnosno da za neke nultočke može i [math]\displaystyle{ (x-\alpha)^k }[/math] dijeliti [math]\displaystyle{ P(x) }[/math], gdje se najveći takav [math]\displaystyle{ k }[/math] naziva kratnošću nultočke. Vrijedi i sljedeće: ako su [math]\displaystyle{ \alpha_1 }[/math],[math]\displaystyle{ \alpha_2 }[/math], ..., [math]\displaystyle{ \alpha_n }[/math] kompleksne nultočke polinoma [math]\displaystyle{ P(x) }[/math] s vodećim koeficijentom [math]\displaystyle{ a_n }[/math], on se može na jedinstven način zapisati kao umnožak n polinoma prvoga stupnja,

[math]\displaystyle{ P(x)=a_n(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\dots(x-\alpha_n) }[/math]