Elipsa
Ovo je glavno značenje pojma Elipsa. Za značenje u kontekstu književnosti pogledajte Elipsa (figura).
Elipsa (hrv. pakružnica)[1] je zatvorena krivulja iz obitelji čunosječnica. Elipsa je određena dvjema poluosima: velikom (oznaka: a) i malom (oznaka: b). Oblik elipse definira se njenim ekscentricitetom (ili eliptičnošću, oznaka: e).
Uz zadane dvije točke u ravnini, točke F1 i F2 i duljinu 2a na kojoj su simetrično odabrane točke F1 i F2 uz uvjet [math]\displaystyle{ 2a \gt d(\mathrm{F}_1, \mathrm{F}_2) }[/math], tada elipsom s fokusima (žarištima) u točkama F1 i F2 i velikom osi 2a nazivamo skup točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti do fokusa F1 i F2 jednak 2a.
Parametri
Smjestimo li središte elipse u središte koordinatnog sustava, tada udaljenost |OF1| = |OF2| nazivamo linearnim ekscentricitetom elipse e. Numerički ekscentricitet elipse određen je kao
- [math]\displaystyle{ \varepsilon\, = \frac{e}{a} \lt 1 }[/math]
Elipsa je određena velikom poluosi i ekscentritetom, ili velikom i malom poluosi gdje vrijedi
- [math]\displaystyle{ e = \sqrt{a^2 - b^2} }[/math]
i
- [math]\displaystyle{ b = \sqrt{a^2 - e^2} }[/math]
Jednadžba elipse
Jednadžba elipse sa središtem u S(0, 0)
Elipsa sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava i poluosima a i b određena je tzv. kanonskom jednadžbom
- [math]\displaystyle{ b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b ^2 \, }[/math]
koja se može prikazati i u segmentnom obliku
- [math]\displaystyle{ {\frac{ x ^2}{ a^2}+ \frac{y^2}{b^2}}= 1 }[/math]
Jednadžba elipse sa središtem u S(p, q)
Elipsa sa središtem točki S određenoj koordinatama S(p, q) i poluosima a i b određena je jednadžbom
- [math]\displaystyle{ b^2(x-p)^2 + a^2(y-q)^2 = a^2b^2 \, }[/math]
koja se može prikazati i u segmentnom obliku
- [math]\displaystyle{ \frac{(x-p)^2}{a^2}+ \frac{(y-q)^2}{b^2}= 1 }[/math]
Tangenta elipse
Tangenta elipse sa središtem u S(0, 0)
Tangenta elipse koja ima središte u ishodištu koordinatnog sustava i koja prolazi točkom [math]\displaystyle{ \mathrm{T}(x_0, y_0) }[/math] na elipsi određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu elipse nalazimo da je
- [math]\displaystyle{ 2b^2 xdx + 2a^2ydx = 0 }[/math]
odakle slijedi da je
- [math]\displaystyle{ y'= \frac{dy}{dx} = \operatorname{tg} \alpha = - {\frac{b^2}{a^2} \frac{x_0}{y_0}} }[/math]
gdje je α kut između tangente i apscise, te da je jednadžba tangente na elipsu
- [math]\displaystyle{ y-y_0 = -{\frac{b^2}{a^2}}{\frac{x_0}{y_0}}(x-x_0) }[/math]
odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednadžba tangente elipse
- [math]\displaystyle{ \frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1 }[/math]
Tangenta elipse sa središtem u S(p, q)
Tangenta elipse koja ima središte u točki S(p, q) i koja prolazi točkom T [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] na elipsi određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu elipse nalazimo da je
- [math]\displaystyle{ {2b^2(x-p)dx+2a^2(y-q)dy} = 0 \, }[/math]
odakle slijedi da je je
- [math]\displaystyle{ y'= \frac{dy}{dx} = \operatorname{tg} \alpha = -{\frac{b^2}{a^2}} {\frac{x_0-p}{y_0-q}} }[/math]
te se sličnim postupkom nalazi da je jednadžba tangente elipse
- [math]\displaystyle{ y-y_0 = -{\frac{b^2}{a^2}} {\frac{x_0-p}{y_0-q}}(x-x_0) }[/math]