Vektorski produkt

Pravilo desne ruke određuje orijentaciju vektorskog produkta

Iznos vektorskog produkta dvaju vektora jednak je površini paralelograma kojeg razapinju

Vektorski produkt (rjeđe vektorski umnožak) je binarna matematička operacija na dva vektora u euklidskom trodimenzionalnom prostoru. Označava se simbolom ×. Za dva linearno nezavisna vektora [math]\displaystyle{ \overrightarrow{a} }[/math] i [math]\displaystyle{ \overrightarrow{b} }[/math], njihov vektorski produkt [math]\displaystyle{ \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} }[/math] je vektor koji je okomit na oba vektora (normala na ravninu koju ti vektori razapinju), a njegov iznos je jednak površini paralelograma kojeg ta dva vektora razapinju. Orijentaciju vektora daje nam pravilo desne ruke. U slučaju da vektori [math]\displaystyle{ \overrightarrow{a} }[/math] i [math]\displaystyle{ \overrightarrow{b} }[/math] nisu linearno nezavisni (dakle jedan je linearna kombinacija drugoga, odnosno imaju isti smjer), njihov vektorski produkt je nul-vektor.

Formalna definicija

Vektorski produkt se definira kao operacija [math]\displaystyle{ \times : (E^3,E^3) \rightarrow E^3 }[/math] za koju vrijedi

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (|\overrightarrow{a}| \times |\overrightarrow{b}| \sin\theta) \overrightarrow{n} }[/math]

gdje su [math]\displaystyle{ \overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} \in E^3, }[/math] [math]\displaystyle{ \theta }[/math] kut između dvaju vektora, a [math]\displaystyle{ \overrightarrow{n} }[/math] vektor okomit na vektore [math]\displaystyle{ \overrightarrow{a} }[/math] i [math]\displaystyle{ \overrightarrow{b} }[/math].

Definira se i pomoću determinante:

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = }[/math]

[math]\displaystyle{ = \overrightarrow{i} (a_2 b_3-a_3 b_2) - \overrightarrow{j} (a_1 b_3-a_3 b_1) + \overrightarrow{k} (a_1 b_2 - a_2 b_1)= }[/math] [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} a_2 b_3-a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix} }[/math]

gdje su [math]\displaystyle{ \overrightarrow{i}=(1,0,0) }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{j}=(0,1,0) }[/math] i :[math]\displaystyle{ \overrightarrow{k}=(0,0,1) }[/math] vektori kanonske baze trodimenzionalnog euklidskog vektorskog prostora, E³.

Svojstva

Iznos vektorskog produkta dvaju vektora je površina paralelograma razapetog tim vektorima

[math]\displaystyle{ | \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} | = | \overrightarrow{a} | | \overrightarrow{b} | | \sin\theta | }[/math]

Vektorski produkt vektora samog sa sobom je nul-vektor.

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0} }[/math]

Vektorski produkt okomit je na oba vektora koji ga čine
Antikomutativan je

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} = -(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}) }[/math]

Distributivan je prema zbrajanju

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}) + (\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}) }[/math]

Za množenje skalarom vrijedi:

[math]\displaystyle{ (\alpha\cdot\overrightarrow{a})\times\overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}\times(\alpha\cdot\overrightarrow{b}) = \alpha\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}) }[/math]

Nije asocijativan
Ne može se kratiti, tj. ako vrijedi [math]\displaystyle{ \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c} }[/math] i [math]\displaystyle{ \overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0} }[/math], ne slijedi [math]\displaystyle{ \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c} }[/math], nego samo [math]\displaystyle{ \overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0} }[/math] kroz distributivnost prema zbrajanju. Ta jednakost može biti zadovoljena ako su vektori [math]\displaystyle{ \overrightarrow{b} }[/math] i [math]\displaystyle{ \overrightarrow{c} }[/math] jednaki, ali i ako su [math]\displaystyle{ \overrightarrow{a} }[/math] i [math]\displaystyle{ \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} }[/math] paralelni, tj. linearna kombinacija jedan drugoga.

Također pogledati