Hiperbolne funkcije

Graf osnovnih hiperbolnih funkcija

Geometrijski prikaz hiperbolnih funkcija. Desna polovica jedinične hiperbole, apscisa i pravac kroz ishodište i točku (ch a, sh a) zatvaraju površinu ploštine a/2.

Hiperbolne funkcije su funkcije u matematici koje odgovaraju trigonometrijskim funkcijama (sinus, kosinus itd.) na hiperboli. Nezavisno su ih otkrili 1760.-ih godina matematičari Vincenzo Riccati i Johann Heinrich Lambert, koji ih je koristio za računanje površine hiperbolnog trokuta. Tek su u 19. stoljeću našle širu upotrebu nakon Lobačevskijevog otkrića hiperbolne geometrije.

Dok skup svih točaka oblika (cos x, sin x) čini jediničnu kružnicu x² + y² = 1, skup (ch x, sh x) čini desnu stranu hiperbole x² - y² = 1. Hiperbolne funkcije usko su povezane s trigonometrijskim funkcijama, između ostalog zbog jednakosti (iy)² = −y².

Osnovne hiperbolne funkcije

Osnovne hiperbolne funkcije su:

• sinus hiperbolni: [math]\displaystyle{ \operatorname{sh} x = \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} }[/math]
• kosinus hiperbolni: [math]\displaystyle{ \operatorname{ch} x = \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} }[/math]

Prethodne dvije funkcije su ujedno redomi neparni i parni dio eksponencijalne funkcije. Iz njih se izvode tangens i kotangens hiperbolni:

• tangens hiperbolni: [math]\displaystyle{ \operatorname{th} x = \tanh x = \frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} }[/math]
• kotangens hiperbolni: [math]\displaystyle{ \operatorname{cth} x = \coth x = \frac{\operatorname{ch}x}{\operatorname{sh}x} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} = \frac{1}{\operatorname{th}x} }[/math]

Rijetko se koriste:

• sekans hiperbolni: [math]\displaystyle{ \operatorname{sech} x = \frac{1}{\operatorname{ch} x} = \frac{2}{e^x + e^{-x}} }[/math]
• kosekans hiperbolni: [math]\displaystyle{ \operatorname{cosech} x = \frac{1}{\operatorname{sh} x} = \frac{2}{e^x - e^{-x}} }[/math]

Area funkcije

Hiperbolne funkcije nisu periodične, za razliku od običnih trigonometrijskih funkcija, stoga mogu imati prave inverze. Inverzi hiperbolnih funkcija su area funkcije (oznaka: Ar); to je hiperbolni analogon arkus funkcijama na kružnici:

• area sinus hiperbolni, Arsh
• area kosinus hiperbolni, Arch
• area tangens hiperbolni, Arth
• area kotangens hiperbolni, Arcth, itd.

Hiperbolni sinus, tangens i kotangens su neparne funkcije, te stoga imaju prave inverze, dok je kosinus hiperbolni paran, pa area kosinus hiperbolni definiramo kao inverz desne polovice (x ≥ 0) funkcije ch x.

Jednakosti

[math]\displaystyle{ \operatorname{Arsh} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2+1} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{Arch} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2-1} \right), \quad x \ge 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{Arth} x = \frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}, \quad \left| x \right| \lt 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{Arcth} x = \frac{1}{2} \ln \frac{x+1}{x-1}, \quad \left| x \right| \gt 1 }[/math]

Derivacije

[math]\displaystyle{ \begin{align} \operatorname{sh}' x &= \operatorname{ch} x \\ \operatorname{ch}' x &= \operatorname{sh} x \\ \operatorname{th}' x &= 1 - \operatorname{th}^2 x = \operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\operatorname{ch}^2 x} \\ \operatorname{cth}' x &= 1 - \operatorname{cth}^2 x = -\operatorname{cosech}^2 x = -\frac{1}{\operatorname{sh}^2 x} && x \ne 0 \\ \operatorname{sech}' x &= - \operatorname{th} x \operatorname{sech} x \\ \operatorname{cosech}' x &= - \operatorname{cth} x \operatorname{cosech} x && x \ne 0 \\ \operatorname{Arsh}' x &= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \\ \operatorname{Arch}' x &= \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} && x \gt 1 \\ \operatorname{Arth}' x &= \frac{1}{1-x^2} && |x| \lt 1 \\ \operatorname{Arcth}' x &= \frac{1}{1-x^2} && |x| \gt 1 \\ \operatorname{Arsech}' x &= -\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}} && 0 \lt x \lt 1 \\ \operatorname{Arcosech}' x &= -\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}} && x \ne 0 \end{align} }[/math]

Zbog svojih banalnih derivacija, area funkcije se relativno često pojavljuju kao integrali jednostavnijih funkcija.

Sinus hiperbolni i kosinus hiperbolni jednaki su vlastitoj drugoj derivaciji:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \operatorname{sh}'' x &= \operatorname{sh} x \\ \operatorname{ch}'' x &= \operatorname{ch} x \end{align} }[/math]

Sve funkcije s tim svojstvom (uključujući e^x i e^−x) su linearne kombinacije sh i ch.

Vidi i

• Popis integrala hiperbolnih funkcija
• Popis integrala inverznih hiperbolnih funkcija

Vanjske poveznice

• Hiperbolne funkcije, Hrvatska enciklopedija
• Elementarne funkcije, grad.hr