Brzina oslobađanja

Newtonova zamišljena topovska kugla: ako bi top na nekoj uzvisini ispalio kuglu s brzinom manjom od brzine kruženja (v_k = 7,9 km/s) ona bi imala putanju A ili B i pala bi na Zemlju; ako bi kugla išla brzinom kruženja ona bi imala kružnu putanju C i gibala bi se stalnom brzinom; ako bi kugla krenula brzinom većom od brzine kruženja ona bi putovala po elipsi D; ako bi kugla krenula brzinom većom od brzine oslobađanja (v_o = 11,2 km/s) ona bi putovala po hiperboli E i napustila bi Zemlju.

Kružno gibanje je sastavljeno od dviju komponenti, od gibanja stalnom brzinom po pravcu i od jednoliko ubrzanog gibanja sa smjerom prema središtu kruženja.

Vizualni primjer gibanja umjetnih satelita GPS-a zajedno sa Zemljinom vrtnjom.

Za Zemlju (M = 6 ∙10²⁴ kg) brzina kruženja ili orbitalna brzina na samoj površini (r = 6 378 km) iznosila bi 7 910 m/s ili 7,91 km/s. Ta se brzina zove i prvom kozmičkom brzinom.

Da bi se napustila Zemlja i njeno gravitacijsko polje, potrebna je brzina oslobađanja od 11,2 km/s (oko 40.320 km/h); ali brzina od 42,1 km/s je potrebna da se oslobodi Sunčeve gravitacije i napusti Sunčev sustav.

Brzina oslobađanja ili druga kozmička brzina je brzina kojom se moraju lansirati svemirske letjelice (međuplanetarne sonde) na putu od Zemlje k Mjesecu i planetima Sunčeva sustava. Uz zadano gravitacijsko polje i položaj, brzina oslobađanja je brzina koju treba postići tijelo (npr. prirodni ili umjetni satelit) kako bi se i bez dodatne sile potiska oslobodilo gravitacijskoga polja nekoga nebeskog tijela i počelo udaljavati paraboličnom stazom u međuplanetarni prostor. Na površini Zemlje ona iznosi najmanje 11,15 km/s. Brzina oslobađanja je određena izrazom:

[math]\displaystyle{ v_o = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{r}} }[/math]

gdje je:

• G - univerzalna gravitacijska konstanta koja otprilike iznosi 6,67428 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²,
• M - masa izvora gravitacijskog polja (kg),
• r - polumjer planetarne putanje ili udaljenost do središta mase izvora gravitacijskog polja (m).

Zakon gravitacije i gibanje tijela

Pojave u prirodi tumače se međudjelovanjima (interakcijama). Newtonov zakon gravitacije je u biti matematički opis gravitacijske sile ili gravitacijske interakcija - sile kojom se uzajamno privlače dvije mase. Dok su Keplerovi zakoni opisivali način gibanja planeta, Newtonov zakon gravitacije je pomogao da se rastumači zašto se planeti gibaju baš tako kako se gibaju. Newton je zakon izveo na temelju praktičnog iskustva i teorijskih razmatranja tadašnje fizike i astronomije, uključivši Keplerove zakone. Obratno, matematičkim se putem iz Newtonov zakon gravitacije daju izvesti Keplerovi zakoni. Ali ne samo to. U prirodi ima gibanja mnogo složenijih od gibanja pojedinog planeta oko Sunca. Već je gibanje planetoida i kometa složenije od gibanja planeta. Isto je tako složenije gibanje množine zvijezda u jednom skupu zvijezda, ili zvijezda jedne galaktike, a sva su ona uvjetovana Newtonovom silom. Stoga je Newtonov zakon gravitacije mnogo općenitiji i pristaje cijelom svijetu. Newtonov zakon gravitacije matematički izražava veličinu sile F kojom se na razmaku r privlače dva tijela s masama M i m:

[math]\displaystyle{ F = G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2}\ }[/math]

Svojstva te sile su sljedeća. Ona je uzajamna, privlačna i centralna sila. Uzajamna je zato što jednakom silom kojom tijelo mase M privlači masu m, privlači i tijelo mase m masu M. Centralna je zato što je usmjerena od jedne mase prema drugoj. Nadalje, sila je razmjerna masi svakog tijela posebno, a njezina veličina opada obrnuto razmjerno s kvadratom udaljenosti. Ako se razmak tijela udvostruči, sila se smanji četiri puta; ako se utrostruči, smanji se devet puta.

Konstanta G (univerzalna gravitacijska konstanta) je konstanta razmjernosti i prema mjerenjima iznosi otprilike 6,67428 ∙ 10⁻¹¹ N m² kg⁻². Tijela obično predstavljamo malim kuglama, no zakon treba primjenjivati na točkasta tijela (tijela sažeta u materijalne točke). Ako tijela nisu točkasta, već proširena, tada je ukupna sila između njih jednaka zbroju svih sila između svake dvije materijalne točke. Stoga gravitacijsko polje oko stvarnog (realnog) tijela zna biti veoma složeno.

Kruženje satelita

Isaac Newton je shvatio da je kružno gibanje sastavljeno od dviju komponenti, od gibanja stalnom brzinom po pravcu i od jednoliko ubrzanog gibanja sa smjerom prema središtu kruženja. Kad ne bi bilo privlačenja, tijelo bi jednolikom brzinom v_k odmicalo po pravcu i za vrijeme t prešlo put v_k∙t. No istodobno, zbog gravitacijskog privlačenja, tijelo pada prema centru i u tom padu, u vrijeme t, prevali put gt²/2. Ako tijelo ipak ostaje na kružnici, mora biti da ono u vrijeme t za toliko odmakne od kružnice za koliko ujedno i padne na kružnicu! Taj proces prisutan je na svakom mjestu kružnice, na svakom ma kako malom odsječku puta. Ako bi brzina gibanja v bila manja od brzine kruženja v_k, to tijelo bi zbog slobodnog pada prišlo središtu Zemlje više nego što bi se u jednolikom gibanju po pravcu od nje odmaknulo, pa bi tako prelazilo s kružnice većeg polumjera na kružnicu manjeg polumjera, te bi u spirali napokon palo na Zemlju.

Prisilimo li neko tijelo da se na vrtuljku giba brzinom v, tada ono u smjeru prema centru ima ubrzanje g (centripetalno ubrzanje). Između brzine gibanja v po kružnoj stazi polumjera r i centripetalne akceleracije g postoji veza:

[math]\displaystyle{ g = \frac{v^2}{r} }[/math]

Giba li se tijelo po kružnici i pojačamo li centripetalnu silu, porast će i ubrzanje i brzina. No ako je sila privlačenja gravitacijska, a u centru gibanja nalazi se masa M, tada je centripetalna akceleracija posve određena i jednaka izrazu:

[math]\displaystyle{ g = G \cdot \frac{M}{r^2}\ }[/math]

Tim uvjetom se za dani polumjer staze od svih mogućih centripetalnih ubrzanja odabire samo jedno ubrzanje (akceleracija), a njoj odgovara samo jedna, posve određena brzina. Izjednačavanjem gornjih dvaju izraza, dobivamo:

[math]\displaystyle{ v = v_k = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}} }[/math]

Za Zemlju (M = 6 ∙10²⁴ kg) brzina kruženja ili orbitalna brzina na samoj površini (r = 6 378 km) iznosila bi 7 910 m/s ili 7,91 km/s. Ta se brzina zove i prvom kozmičkom brzinom. Na svakoj drugoj razini iznad površine Zemlje brzina kruženja ima drugu vrijednost.

Oslobađanje satelita

Što se događa kada se brzina satelita poveća iznad brzine kruženja v_k. Svaka veća brzina dovest će do izduženja staze (putanje). Kružnica prelazi u elipsu, a elipsa malog ekscentriciteta prelazi u elipsu većeg ekscentriciteta. Kada staza postane parabola, tijelo će napustiti Zemljinu blizinu i slobodno odletjeti u međuplanetarni prostor. Tada imamo brzinu oslobađanja v_o ili drugu kozmičku brzinu. Tijela mogu biti međusobno vezana, ili slobodna. Tijelo je vezano i čini jedan fizički sustav sustav sa Zemljom kada leži na njoj ili se giba oko nje zatvorenom putanjom. Općenito, tijelo ima i kinetičku energiju i gravitacijsku potencijalnu energiju (energiju položaja u gravitacijskom polju). Potencijalna energija E_p mase m u okolini mase M jednaka je:

[math]\displaystyle{ E_p = \frac{-G \cdot M \cdot m}{r} }[/math]

Dogovorom je potencijalnoj energiji pridijeljen negativan predznak. Vidimo da je na manjoj udaljenosti r potencijalna energija negativnija nego na većoj udaljenosti. S povećanjem razmaka potencijalna energija poprima manje negativnu vrijednost, a na beskonačnoj udaljenosti iznos joj padne na nulu. U stvari, relativno najveću vrijednost ima potencijalna energija na najvećoj udaljenosti; to je smisao negativnog predznaka. U strogom značenju tijelo je slobodno kada se nalazi na neizmjernoj udaljenosti od Zemlje. S obzirom na to da Zemlja nije sama u svemiru, već je svemirsko gravitacijsko polje složeno od mnogih pojedinačnih, tijelo će se uvijek nalaziti pod njihovim utjecajem. Zato je i pitanje slobode više praktičko pitanje: na velikim udaljenostima od Zemlje tijelo se nalazi u slobodnom stanju. Omjer gravitacijske potencijalne energije i mase m, dakle izraz - GM/r, zove gravitacijski potencijal.

Zamislimo postupak oslobađanja tijela u slučaju kada je tijelo na početku mirovalo na Zemlji, a na kraju mirovalo na praktički beskonačnoj udaljenosti od Zemlje. Kako je kinetička energija u takvom slučaju i na početku i na kraju postupka jednaka nuli, to će tijelo morati premostiti razliku potencijalne energije E_p koja postoji između površine Zemlje i beskonačne udaljenosti. Promjena energije jednaka je konačnoj vrijednosti manje početna vrijednost. Budući da se energija ne može ni stvoriti niti izgubiti (zakon očuvanja energije), treba je preuzeti iz kinetičke energije E_k, tijelo treba odaslati sa Zemlje s nekom početnom brzinom v_o:

[math]\displaystyle{ (E_p + E_k)_Z = (E_p + E_k)_s \, }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_o^2 + \frac{-G \cdot M \cdot m}{r} = 0 + 0 }[/math]

Tijelo mora krenuti s brzinom oslobađanja v_o:

[math]\displaystyle{ v_o = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{r}} }[/math]

Postupak se može odvijati i u suprotnom smjeru. Pri slobodnom padu od beskonačnosti do daljine r razlika potencijalne energije prelazi u kinetičku, i brzina v_o koju tijelo ima ovisi o udaljenosti r od centra privlačenja mase M. To znači da bi tijelo u slobodnom padu palo do nekog položaja r s istom onom brzinom s kojom se s tog položaja u gravitacijskom polju mora osloboditi. Brzina oslobađanja sa Zemlje iznosi 11,2 km/s i naziva se još drugom kozmičkom brzinom. Želimo li tijelo koje već kruži oko mase M osloboditi, trebat će mu do brzine oslobađanja dodijeliti manju energiju nego kad je ležalo na Zemlje. Brzinu tijela treba povećati od v_k do v_o, u biti kinetičkoj energiji treba dodati iznos G M m / 2 r; dakle, tijelu treba dovesti još toliko kinetičke energije koliko kinetičke energije već ima. Na takav se način postupa s svemirskim letjelicama koje se otpremaju na planete. One se najprije lansiraju u putanju oko Zemlje, gdje je bezračni prostor, a onda se u odabranom trenutku ponovo pale raketni motori, raketa postiže brzinu oslobađanja i usmjeruje letjelicu prema cilju.

Gibanje umjetnih satelita

Umjetni sateliti se lansiraju u putanje koje imaju različite ekscentricitete. Brzina kojom se gibaju ovisi o položaju na putanji. Na većim udaljenostima od Zemlje brzina kruženja v_k manja je od 7,9 km/s. Na slici je nekoliko oblika putanje satelita koji prolaze točkom koja je na nekoj visini od površini Zemlje. Točka najbliža Zemlji na toj putanji zove se perigej, a točka najveće udaljenosti apogej. Putanja C je kružnica i satelit se giba stalnom brzinom, brzinom kruženja za tu daljinu. Staza D je eliptična. S približavanjem perigeju satelit postiže najveću brzinu, koja je veća od brzine kruženja na tom mjestu; da je jednaka brzini kruženja, satelit bi se gibao kružnicom. Eliptičnu putanju D ima umjetni satelit koji se giba brzinom većom od brzine kruženja, a manjom od brzine oslobađanja.

Po nekim osobinama gibanje umjetnih satelita razlikuje se od gibanja prirodnih satelita. Najveća je razlika u tome što je masa umjetnih satelita sasvim zanemariva prema masi Zemlje. Osim Zemlje, na putanju satelita utječu i Mjesec i Sunce. Zato se satelit giba u složenom gravitacijskom polju. Ni sama Zemlja nema jednostavno gravitacijsko polje kakvo ima točkasta masa jer je spljoštena na polovima, odnosno ispupčena na ekvatoru, a osim toga, unutar već složenog oblika, materija nije jednoliko raspoređena. Mase su različito raspoređene u području mora i kopna. Veću gustoću imaju slojevi tla koji se nalaze ispod oceana, manju slojevi ispod kopna. Putanja satelita stalno se poremećuje, neprestano se mijenjaju orbitalni elementi satelita, te se ta poremećenja upravo dadu iskoristiti da bi se ocijenio oblik Zemlje i raspored masa. Podaci dobiveni nakon analize gibanja satelita nadopunjuju podatke dobivene neposrednim geodetskim premjerima Zemlje i gravimetrijskim mjerenjima (mjerenjima ubrzanja sile teže).

Drugi uzrok koji dovodi do stalne promjene putanje Zemljina umjetnog satelita je otpor Zemljine atmosfere. Atmosfera postoji i na vrlo velikim visinama, makar i rijetka, pa se njezin utjecaj osjeti nakon nekog vremena. Jasno je da je utjecaj jači u nižim dijelovima putanje, dok je satelit blizu perigeja. Satelit gubi energiju, apogej se približava Zemlji i putanje se zaobljuje. Elipsa prelazi u kružnicu, a čitava se putanja smanjuje i približava Zemlji. Satelit tone sve dublje i spiralno ulazi u gušće dijelove atmosfere gdje izgara, a katkada pokoji njegov dio dospijeva i do tla.

Popis brzina oslobađanja

Na površini...	..u odnosu na	Vo (km/s)		Na površini...	..u odnosu na	Vo (km/s)
Sunca,	Sunčevu gravitaciju:	617,5
Merkura,	Merkurovu gravitaciju:	4,3		Merkura,	Sunčevu gravitaciju:	67,7
Venere,	Venerinu gravitaciju:	10,3		Venere,	Sunčevu gravitaciju:	49,5
Zemlje,	Zemljinu gravitaciju:	11,2		Zemlje (Mjeseca),	Sunčevu gravitaciju:	42,1
Mjeseca,	Mjesečevu gravitaciju:	2,4		Mjeseca,	Zemljinu gravitaciju:	1,4
Marsa,	Marsovu gravitaciju:	5,0		Marsa,	Sunčevu gravitaciju:	34,1
Jupitera,	Jupiterovu gravitaciju:	59,6		Jupitera,	Sunčevu gravitaciju:	18,5
Ganimeda,	Ganimedovu gravitaciju:	2,7
Saturna,	Saturnovu gravitaciju:	35,6		Saturna,	Sunčevu gravitaciju:	13,6
Urana,	Uranovu gravitaciju:	21,3		Urana,	Sunčevu gravitaciju:	9,6
Neptuna,	Neptunovu gravitaciju:	23,8		Neptuna,	Sunčevu gravitaciju:	7,7
Plutona,	Plutonovu gravitaciju:	1,2
Galaktičkog polumjera Sunčevog sustava	gravitaciju Mliječnog puta	492 - 594
Horizonta događaja	gravitacija crne rupe	≥ 299,792 (brzina svjetlosti)

Uslijed trenja koje stvara Zemljina atmosfera, nije uvijek korisno, pa ni moguće, ubrzavati objekte do brzine od 11,2 km/s jer je ova brzina predaleko u hipersoničnom režimu za bilo koji model pogona. Kod slanja letjelica u svemir, prvo ih se lansira u nisku Zemljinu putanju (eng.: Low Earth Orbit), da bi ih se tak nakon toga ubrzalo do brzine oslobađanja koja na tim visinama iznosi oko 10,9 km/s (nešto manje nego na površini Zemlje). Da bi letjelica opće bila u niskoj zemljinoj orbiti, ona mora biti ubrzana do oko 8 km/s.

Poveznice

• Gravitacijska praćka
• Gravitacijski bunar

Vanjske poveznice

• HTML code for calculating the escape velocity