Kinetička teorija plinova

Temperatura idealnog plina je mjera prosječne kinetičke energije molekula.

Difuzija nastaje zbog razlike u koncentracijama koje se spontanim toplinskim gibanjem čestica izjednačuju.

Ovo je oponašanje ili simuliranje Brownovog gibanja za veliku česticu (česticu prašine) kola se sudara s velikim brojem malih čestica (molekule plina) koje se kreću s različitim brzinama i u slučajnim smjerovima.

Ovo je oponašanje ili simuliranje Brownovog gibanja za 5 čestica (žuto) koje se sudaraju s 800 čestica. Žute čestice ostavljaju 5 plavih tragova slučajnog kretanja i jedna od njih ima crveni vektor brzine.

Viskoznost je trenje nastalo pri strujanju fluida zbog različite brzine gibanja njegovih slojeva.

Kinetička teorija plinova je tumačenje makroskopskih svojstava plinova na temelju gibanja njihovih molekula. Osnovne su postavke teorije:

• molekule su najmanji djelići kemijskih tvari koji sadrže kemijska svojstva makroskopske tvari;
• molekule su u stalnom, kaotičnom gibanju (kinetička energija molekularnoga sustava predstavlja toplinu);
• međusobno djelovanje molekula i njihovo djelovanje na stijenke posude u kojoj se plin nalazi može se tretirati, na bazi klasične mehanike, kao sudari ili srazovi;
• zbog velikoga broja molekula primjenljive su metode statističke fizike.

Ako se zanemari međusobno djelovanje molekula, govori se o idealnom plinu, za koji se jednostavno izračunavaju temeljne termodinamičke veličine: tlak, temperatura i specifični toplinski kapacitet.

Plin, koji u jedinici volumena sadrži n molekula mase m koje se gibaju prosječnom brzinom v, vrši na stijenke posude tlak p:

$p={\frac {n\cdot m\cdot v^{2}}{3}}$

U klasičnoj statističkoj fizici pretpostavlja se jednaka raspodjela energije sustava po raspoloživim stupnjevima slobode (kod čistoga translatornoga gibanja 3 prostorne komponente), pri čemu na svaki otpada srednja energija E_sr:

$E_{sr}={\frac {k_{B}\cdot T}{2}}$

gdje je: k_B - Boltzmannova konstanta, a T - termodinamička temperatura.

Ukupna energija jednoga mola plina (kinetička energija N molekula) dana je s:

$E={\frac {3\cdot N\cdot k_{B}\cdot T}{2}}$

gdje se faktor 3N k_B/2 naziva specifičnim toplinskim kapacitetom jednoatomnih plinova.

Kinetičkom teorijom plinova objašnjavaju se i druge pojave, primjerice difuzija, Brownovo gibanje, viskoznost i toplinska provodnost. Za realne plinove teorija daje ili približne rezultate, primjenljive u određenom rasponu temperatura i tlakova, ili se u razmatranje moraju uključiti potencijalna energija te svojstva molekula koja utječu na njihovo međudjelovanje i koja, općenito uzevši, ovise o temperaturi.

Dokaz za kinetičku teoriju plinova je Brownovo gibanje, koji je primijetio kretanje peluda ispod mikroskopa, a koje nastaje zbog kretanja i sudaranja nevidljivih čestica. Kao što je naglasio Albert Einstein 1905., eksperimentalni dokazi kinetičke teorije plinova su ujedno i dokazi postojanja atoma i molekula.

Pretpostavke

Kinetička teorija plinova se zasniva na sljedećim pretpostavkama:

• plin se sastoji od vrlo malih čestica, koji imaju neku masu;
• broj čestica u plinu je toliko velik, da se mogu primijeniti statistički zakoni;
• ti atomi i molekule su u stalnom i slučajnom kretanju. Brze pokretne čestice se stalno sudaraju sa stijenkama spremnika u kojem se nalaze;
• srazovi ili sudari čestica i stijenki spremnika su savršeno elastični;
• osim za vrijeme sraza ili sudara, međudjelovanje između molekula je zanemarivo (nema međumolekularnih sila);
• ukupni obujam čestica plina je zanemariv u usporedbi sa obujmom spremnika u kojem se nalaze. Drugim riječima, veličina molekula je zanemariva u odnosu na razmak izmedu njih;
• molekule imaju oblik savršene kugle i elastične su;
• prosječna kinetička energija čestica plina ovisi samo o temperaturi sustava;
• utjecaj posebne teorije relativnosti je zanemariv;
• utjecaj kvantne mehanike je zanemariv. To znači da je udaljenost između čestica puno veća od toplinske de Broglieve valne duljine i molekule se promatraju kao objekti klasične mehanike;
• vrijeme sudara čestica sa stijenkom spremnika je zanemarivo u usporedbi sa vremenom između sudara.

Svojstva

Tlak

Tlak prema kinetičkoj teoriji plinova nastaje udaranjem čestica plina na stijenke spremnika u kojem se nalaze. U spremniku ima N molekula, svaka molekula ima masu m, a spremnik ima obujam V=L³. Kada molekula plina udari okomito u stijenku spremnika, onda količina gibanja koju izgubi molekula, a dobije stijenka spremnika iznosi:

$\Delta p=p_{i,x}-p_{f,x}=2\cdot m\cdot v_{x}\,$

gdje je v_x početna brzina čestice x. Čestica udari u stijenku spremnika svakih:

$\Delta t={\frac {2\cdot L}{v_{x}}}$

gdje je L udaljenost između stijenki spremnika. Sila kojom čestica djeluje na stijenku spremnika je:

$F={\frac {\Delta p}{\Delta t}}={\frac {m\cdot v_{x}^{2}}{L}}.$

Ukupna sila na zid stijenke iznosi:

$F={\frac {N\cdot m\cdot {\overline {v_{x}^{2}}}}{L}}$

gdje se gornja formula odnosi na prosječan broj N čestica koje udaraju u zid, a pretpostavka prema molekularnom neredu iznosi ${\overline {v_{x}^{2}}}={\overline {v^{2}}}/3$, pa se sila može izraziti:

$F={\frac {N\cdot m\cdot {\overline {v^{2}}}}{3\cdot L}}.$

ta sila pritišće površinu L², pa tlak iznosi:

$p={\frac {F}{L^{2}}}={\frac {N\cdot m\cdot {\overline {v^{2}}}}{3\cdot V}}$

gdje je V = L³ obujam spremnika. Razlomak n=N/V je gustoća čestica plina (gustoća mase iznosi ρ=n m). Koristeći n, možemo tlak izraziti kao:

$p={\frac {n\cdot m\cdot {\overline {v^{2}}}}{3}}$

To je prvi značajan rezultat kinetičke teorije plinova, gdje se tlak kao makroskopska pojava objašnjava sa mikroskopskom kinetičkom energijom molekula ${1 \over 2}m{\overline {v^{2}}}$.

Temperatura i kinetička energija

Iz jednadžbe stanja idealnog plina:

$\displaystyle p\cdot V=N\cdot k_{B}\cdot T$

(1)

gdje je k_B – Boltzmannova konstanta i T – apsolutna temperatura i iz gornje jednažbe kinetičke teorije plinova za tlak:

$p={N\cdot m\cdot v^{2} \over 3\cdot V}$ dobivamo $p\cdot V={N\cdot m\cdot v_{rms}^{2} \over 3}$

dobivamo $\displaystyle N\cdot k_{B}\cdot T={\frac {N\cdot m\cdot v_{rms}^{2}}{3}}$

onda temperatura T dolazi:

$\displaystyle T={\frac {m\cdot v_{rms}^{2}}{3k_{B}}}$

(2)

i vodi prema izrazu kinetičke energije molekula:

$\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{rms}^{2}={\frac {3}{2}}k_{B}\cdot T$

Kinetička energija cijelog sustava je N puta veća:

$K={\frac {1}{2}}N\cdot m\cdot v_{rms}^{2}$

Pa temperatura postaje:

$\displaystyle T={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {K}{N\cdot k_{B}}}.$

(3)

To je vrlo važan rezultat kinetičke teorije plinova: prosječna molekularna kinetička energija je proporcionalna apsolutnoj temperaturi. Kombiniranjem možemo dobiti:

$\displaystyle p\cdot V={\frac {2}{3}}K.$

(4)

To znači da je umnožak tlaka i obujma, po molu plina, proporcionalan sa prosječnom molekularnom kinetičkom energijom.

Sudari sa spremnikom

Za idealni plin, prema kinetičkoj teoriji plinova, može se izračunati broj sudara molekula sa spremnikom, po jedinici vremena i po jedinici površine:

$A={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {N}{V}}\cdot v_{avg}={\frac {\rho }{4}}{\sqrt {\frac {8\cdot k_{B}\cdot T}{\pi \cdot m}}}.\,$

Brzina molekula

Iz kinetičke teorije plinova može se izračunati prosječna brzina molekula:

$v_{rms}^{2}={\frac {3\cdot R\cdot T}{\mbox{molarna masa}}}$

gdje je: v_rms - prosječna brzina molekula (m/s), T – apsolutna temperatura (K), R – univerzalna plinska konstanta, molarna masa (kg/mol).

Povijest

Začetnik kinetičke teorije plinova je Daniel Bernoulli, koji je 1738. izdao knjigu Hydrodynamica. On je tvrdio da se plinovi sastoje od velikog broja molekula, koje se stalno kreću u svim smjerovima, i da njihovi udarci na stijenke spremnika stvaraju tlak, a da je toplina koju osjećamo ustvari kinetička energija kretanja molekula. Ta teorija u početku nije imala uspjeha, tek nakon zakona o očuvanju energije, postaje opće prihvaćena.

Ostali značajni prestavnici kinetičke teorije plinova su Mihail Lomonosov, Rudolf Clausius, James Maxwell, Ludwig Boltzmann i na kraju Albert Einstein, koji je pokazao da atomi i molekule nisu samo teoretske čestice, nego i da postoje u stvarnosti.

Izvori

• Clausius, R.: "Ueber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nennen", journal =Annalen der Physik, 1857., [2]
• Einstein, A.: "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen", journal =Annalen der Physik, 1905. [3]
• Herapath, J.: "On the physical properties of gases", journal =Annals of Philosophy, 1816., [4], publisher= Robert Baldwin
• Herapath, J.: "On the Causes, Laws and Phenomena of Heat, Gases, Gravitation", 1821., journal= Annals of Philosophy, [5], publisher=Baldwin, Cradock, and Joy
• Krönig, A.: "Grundzüge einer Theorie der Gase", journal =Annalen der Physik, 1856., [6]
• Le Sage G.-L.: "Physique Mécanique des Georges-Louis Le Sage", 1818., publisher=J.J. Paschoud, [7]
• Lomonosow, M.: "On the Relation of the Amount of Material and Weight", 1758./1970.journal= Mikhail Vasil'evich Lomonosov on the Corpuscular Theory, publisher=Harvard University Press, [8]
• Mahon Basil: "The Man Who Changed Everything – the Life of James Clerk Maxwell", publisher=Wiley, 2003.
• Maxwell James Clerk: "Molecules", journal =Nature, 1873., [9], Scholar search
• Smoluchowski M.: "Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen", journal =Annalen der Physik, 1906., [10]
• Waterston John James: "Thoughts on the Mental Functions", 1843.
• Williams M. M. R.: "Mathematical Methods in Particle Transport Theory", Butterworths, London, 1971.
• de Groot S. R., W. A. van Leeuwen and Ch. G. van Weert: "Relativistic Kinetic Theory", North-Holland, Amsterdam, 1980.
• Liboff R. L.: "Kinetic Theory", Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1990.
• Ivo Batistić, Fizički odsjek, PMF, Sveučilište u Zagrebu: "Kinetička teorija plinova" [11]