Arhimed

1. PREUSMJERI Predložak:Infookvir znanstvenik

Arhimedov zakon: tijelo uronjeno u tekućinu lakše je za težinu istisnute tekućine.

Datoteka:Arhimedov vijak 1.jpg

Arhimedov vijak.

Datoteka:Arhimedov paradoks.pdf

Arhimedov paradoks: sila F_A koju stvara hidrostatički tlak na vodoravno dno bilo kakve posude zavisi od dubine nestlačive tekućine H i iznosa površine dna posude A, a ne zavisi od oblika posude.

Poluga je čvrsto tijelo koje se može okretati oko neke čvrste točke, oslonca ili zgloba i vrijedi: F₁D₁ = F₂D₂.

Izgled Arhimedovog ili običnog koloturnika.

Arhimed je možda koristio zrcala koja djeluju zajedno kao parabolični reflektor da bi spalio brodove koji su napadali Sirakuzu.

Mehanizam iz Antikitere (glavni dio).

Arhimedova spirala.

Upisivanjem pravilnih višekutnika u krug i njihovim opisivanjem oko kruga, Arhimed je našao da se vrijednost broja π nalazi u području od 3 i 1/7 do 3 i 10/71 (a to odgovara približnoj vrijednosti π = 3,14).

Arhimedovo tijelo je poliedar kojemu su strane pravilni, ali ne svi međusobno jednaki višekuti.

Arhimed je navodno izgradio najveći katapult za izbacivanje kamena u svoje vrijeme.

Archimēdous Panta sōzomena, 1615.

Arhimed (grč. Ἀρχıμήδης, Arkhimḗdēs, oko 287.-212. pr. Kr.) bio je grčki fizičar, astronom i jedan od najvećih matematičara starog vijeka. Arhimed iz Sirakuze, navodno jedan od trojice najgenijalnijih matematičara svih vremena, bio je vrhunac helenske matematike i najveći fizičar starog vijeka. Neko vrijeme boravio u Aleksandriji, ali je najveći dio života proveo u rodnom gradu.

Upisivanjem pravilnih višekutnika (poligona) od 6, 12, 24, 38 i 96 stranica u krug i njihovim opisivanjem oko kruga, Arhimed je našao da se vrijednost broja π nalazi u području od 3 i 1/7 do 3 i 10/71 (a to odgovara približnoj vrijednosti π = 3,14). Proširenjem te metode na druge slučajeve, ne samo u ravnini već i u prostoru, Arhimed je na vješt način izveo mnoge kvadrature ravnih likova i kubature tijelȃ, a i određivanje položaja težišta tijelȃ i ravnih likova. Osobito je važan njegov rezultat da se obujmovi stošca, kugle i valjka jednakih polumjera i visina odnose kao 1 : 2 : 3. Duhovit je Arhimedov način određivanja ploština odsječka parabole i obujma kugle s pomoću načela ravnoteže na poluzi, koji je opisao u djelu O ravnoteži ravnih likova. Osim statike čvrstih tijela, Arhimed je osnovao i hidrostatiku. Izumio je: Arhimedov vijak, Arhimedov koloturnik, a i neke ratne sprave, no u tom pogledu teško je odvojiti istinu od legende.

Životopis

Arhimed se rodio 287. godine prije nove ere. Njegov je otac bio Fidija (ali ne kipar Fidija, koji je živio u 5. stoljeću pr. Kr.), astronom i matematičar, jedan od onih profesionalaca koji su bili bliži astrologiji nego matematici dok ga filozofija uopće nije zanimala. U vrijeme Arhimedova rođenja Fidija je bio relativno siromašan građanin, kakvih je u Sirakuzi bilo mnogo. Međutim njegovo siromaštvo nije bilo dugog vijeka jer je uskoro njihov rođak Hijeron zavladao gradom. Fidija je svog sina naučio svemu što je sam znao.

Aleksandrijska knjižnica

Fidija se izgleda rukovodio načelom: sinu treba dati znanje u ruke i neka on s njim čini što mu volja. Arhimed je brzo usvojio očeva znanja koja su za njega bila tek početak naukovanja. Njegov duh tražio je još znanja i učenja, a to mu nitko nije mogao pružiti u Sirakuzi. Stoga je otišao u Aleksandriju (današnji Egipat) gdje su moćni Ptolemejevići osnovali čuvenu Aleksandrijsku knjižnicu. U to vrijeme Aleksandrija je bila središte prirodnih znanosti, što je tada obuhvaćalo astronomiju, matematiku, medicinu i filologiju. Arhimed u Aleksandriji nije postao ono što je mogao i što su najčešće postajali daroviti matematičari, pjesnici i medicinari - dvorski čovjek koji će kroz svoja djela veličati vladajuću kuću. Njega je prije svega i jedino zanimala matematika.

U Aleksandrijskoj knjižnici gdje se njegovala filozofska svestranost i na najbezočniji način laskalo vladaru Ptolomeju i njegovoj supruzi Euergeti, radilo je mnogo mladih i sposobnih matematičara. Najsvestraniji je bio sjajni Eratosten, budući Arhimedov prijatelj. Nepisano pravilo je nalagao da svako otkriće prije objavljivanja mora biti poslano nekom drugom matematičaru na provjeru. Tako su vršnjaci Arhimed i Eratosten sve do Arhimedove smrti izmjenjivali brojna pisma u kojima su se nalazila gotovo sva otkrića i jednog i drugog. Vrativši se u Sirakuzu, Arhimed se u početku bavio astronomijom veoma ambiciozno, želeći odjednom sve. Sirakuza nije dugo mogla uživati svoju slobodu te se stoga Arhimed spremao za obranu svoga grada kako je znao i umio. Gradio je do tada neviđene strojeve trošeći na tom poslu svoju veliku darovitost.

Heureka! Heureka!

Koncentracija genija bila je tako velika kod Arhimeda da on u pojedinim trenucima ne vidi ništa drugo osim problema kojem se posveti. Stoga on zaboravlja na jelo i prilike u kojima je - crta po nauljenom tijelu, po pepelu vatre gradskog kupatila. Čini se danas sasvim nevažnom ona čuvena izreka: Heureka! Heureka! i trk iz gradskog kupatila kako bi se ideja primijenila dok je još vruća. Skoro za tadašnju cijelu Sirakuzu Arhimed je bio lud, a on će sve te ljude koji su ga okruživali obraniti od Rimljana i tako im sačuvati živote. Iako je bio i vrstan polemičar, vičan sarkazmu bio je i samokritičan. Nije propuštao ukazati na svoje pogrješke i tako se izdizao oznad onih koji su ga oštro kritizirali.

Matematika i mehanika

Arhimed se bavio običnim, praktičnim problemima, koji su bili primjenjivani na mnogim mjestima, od polja do rudnika, za razliku od nekih njegovih kolega. Najveću slavu stekao je svojim raspravama o zaobljenim geometrijskim tijelima, čiju je površinu i obujam izračunavao složenom metodom bliskom današnjem infinitezimalnom računu. Također je pronašao zakone poluge, položio osnove hidrostatici i odredio približnu vrijednost broja pi (3,14). Pored toga izumio je t.zv. Arhimedov vijak za podizanje velikih količina vode na veću razinu. Pronašao je i t.zv. Arhimedov zakon, što mu je omogućilo da (uz poklik Eureka!) otkrije primjene neplemenitih metala u kruni kralja Hijerona.

Živjeći u isto vrijeme kada i veliki matematičar Apolonije iz Perge, poznat po svojim radovima iz područja konusnih presjeka, Arhimed se koristio svakom prigodom kako bi pecnuo svog suvremenika kojeg nije trpio. Netrpeljivost je, uostalom, bila obostrana. Parodirajući naslov Arhimedovog spisa Mjerenja kruga i dostignuća u njemu Apolonije je objavio djelo s naslovom Sredstvo za ubrzavanje porođaja. Arhimed mu nije ostao dužan nego je u jednom zadatku koji je uputio Eratostenu, napisanom savršenim epskim jezikom, apostrofirao Apolonija. Problem koji je postavio Arhimed - vezan uz broj bikova na ispaši, zaista je za ondašnje doba bio gotovo nerješiv jer upućuje na ogromne brojeve. Arhimed piše:

„Koliko u Sunca krava i bikova ima, izračunaj stranče, napregnuvši um, ako ti je zaista svojstvena mudrost. ...... Ako izračunaš koliko je tamo svega bilo stoke, koliko je na livadama paslo mesnatih bikova, koliko krava muzara i koliko od svake boje, nitko te više neće nazvati neznalicom, ali i u mudrace te neće ubrojiti, ako uz to ne izračunaš i različite navike bikova: ako se pomiješaju crni bikovi s bijelim stadom, oni će u polju zauzeti pravi kvadrat, širine jednake dužini, i ova bezbrojna masa popunit će čitavo polje Trinakije. Ako se pak pokupe zajedno svi mrki i šareni (a ostali će zasebno pasti, ili je isto ako im dođu i svi ostali), tako da u prednjem redu stane jedan, a zatim u svakom daljem redu sve više, imat će figura, koju svi oni popunjuju, tri strane: umiješ li sve to naći i duhovnim pogledom obuhvatiti veličinu stada i drugima prenijeti, gordo koračaj naprijed, kiteći se velikom pobjedom: znaj da si, nadišavši druge, po mudrosti prvi ti.”

Naravno, problem je složen, i izražen u suvremenim oznakama izgleda: t² - 4.729.494 u² = 1, a rješenje daje broj od 206 545 decimala, za čije bi zapisivanje bilo potrebno 60 stranica petita.

Arhimedova smrt

Arhimedova smrt, za vrijeme opsade Sirakuze, poznata je u okvirima koji su do nas stigli zahvaljujući Plutarhovom životopisu vojskovođe Marcela. Međutim izgleda da Plutarh stvari dotjeruje kada kaže da se Marcel ljutio i bio ogorčen na vojnika koji je ubio Arhimeda. Ali onu poznatu rečenicu koja se pripisuje Arhimedu: Noli turbare circulus meos (Ne diraj moje krugove) nije ostavio Plutarh nego povjesničar Valerije Maksim. On je napisao:

„Smatrajući kako ove riječi vrijeđaju moć pobjednika vojnik mu je odsjekao glavu i Arhimedova krv poprskala je njegov znanstveni rad. Teško je povjerovati da se Arhimed mogao razumijeti s Rimljaninom jer je on govorio grčki, a vojnik latinski. Pored toga Rimljani su zvjerski kažnjavali pobijeđene, a naročito je Marcel u tome bio svirep. On je čak naređivao da se pobiju žene i djeca kada bi neki grad "vjerolomno" narušio ugovor koji je imao s Rimom.”

Sirakužani nisu smjeli održavati grob svog velikog mislioca. Njega je jedva pronašao Ciceron i to zahvaljujući crtežu lopte i valjka koji se nalazio na spomeniku iznad nekoliko stihova urezanih velikom matematičaru u spomen. Odmah sam rekao predstavnicima Sirakuze koji su me pratili da je pred nama bez sumnje Arhimedov nadgrobni spomenik. I zaista, čim su pozvali ljude da isjeku korov i da nam prokrče put i čim smo približili ovom stubu, vidjeli smo u njegovom podnožju natpis. Dio uklesanih stihova mogao se još pročitati, sve ostalo je satrlo vrijeme. I tako, jedan od najslavnijih gradova Grčke, koji je nekada dao svijetu toliko velikana, nije više znao čak ni gdje se nalazi grobnica najgenijalnijeg njegovog građanina se dok se nije pojavio čovjek iz malog grada Arpina, da bi im pokazao taj grob!

No, Arhimedovu slavu nosili su dalje Arapi i Perzijanci u islamskom razdoblju; Išak ibn Hunan, prevodilac Arhimedova remek-djela O lopti i valjku, Tabit Ibn Kurah, prevodilac spisa Mjerenje kruga, zatim Almohtaso abil Hasan, al-Džalil as Sijzi, al-Kuhi, al-Mahani, al-Biruni, a posebno Omar Hajam, poznati pjesnik Rubaija, te najveći iranski matematičar Al-Hvarizmi. Za to vrijeme, Europa šest stoljeća spava svoj srednjovjekovni san.

Plutarh o Arhimedu

Jedan od klasičnih tekstova u kojem Plutarh otvoreno izražava stav o relativnoj vrijednosti teorijskih i praktičnih istraživanja je Život Marcellusa. Plutarh opisuje kako su Arhimedovi mehanički izumi držali rimsku vojsku u šahu tijekom opsade Sirakuze 212. pr. Kr. i izražava teorijski i praktični opis Arhimedove genijalnosti. Prema Plutarhu:

„(Arhimed) se nipošto nije posvetio (izgradnji naprava) kao poslu vrijednom ozbiljnoga truda, već je većina njih bila tek dodatak geometriji izveden za zabavu, jer je u prošlim danima kralj Hiero željno čeznuo i konačno ga uvjerio da svoje umijeće donekle okrene od apstraktnih pojmova prema tvarnim stvarima te da primjenjujući svoje umovanje donekle na svrhe koje se osjećaju, učini ga bjelodanijim običnom umu.”

Nakon nabrajanja Arhimedovih inženjerskih postignuća, Plutarh zaključuje:

„Pa ipak je Arhimed posjedovao toliko uzvišen duh, toliko duboku dušu i toliku dubinu teorijskog uvida, da, premda su mu izumi priskrbili slavu nadljudske mudrosti, nije pristao ostaviti nikakvu raspravu o tom predmetu, već je, smatrajući niskim i prostim djelo inženjera i svako umijeće koje služi životnim potrebama, posvetio svoje najveće napore samo onim izučavanjima na čiju istančanost i privlačnost ne utječu zahtjevi nužde ... I premda je došao do mnogih izvrsnih otkrića, zamolio je svoje prijatelje da na njegov grob stave valjak koji obuhvaća kuglu, s natpisom koji daje omjer u kojem sadržavajuće tijelo preseže sadržavano.”

Valja uočiti da Plutarh ne citira izravno Arhimeda, već mu pripisuje neke stavove. Plutarh nije bio inženjer, već dobrostojeći građanin, znanstvenik zainteresiran za povijest i filozofiju, blizak platonizmu. Vjerojatno nije daleko od istine da je Arhimed iznad svega cijenio svoje matematičko djelo. Priča o Arhimedovoj želji za nadgrobni spomenik možda nije istinita, ali imamo li na umu njegova izvanredna matematička postignuća, ne bi nas trebalo iznenaditi da je htio biti upamćen upravo po njima.

S druge strane, kada Plutarh zaključuje da je Arhimed otvoreno prezirao svako umijeće koje služi životnim potrebama, možemo posumnjati da tu izranjaju Plutarhove vlastite platoničke predrasude. Izvještaji koji povezuju Arhimeda s mehaničkim napravama poput po njemu nazvana vijka (naprave za podizanje vode za koju se kaže da ju je izumio tijekom posjete Egiptu) i složena koloturnika (učinkovitost koje je navodno pokazao sam vukući natovaren brod) su možda nakićeni, ali posve sigurno pokazuju da Arhimed nije bio zainteresiran samo za teorijsku stranu mehaničkih problema, već i za onu praktičnu. Arhimedova objavljena djela su apstraktna i filozofska, no čak i ako mnogo toga njemu pripisanog odbacimo kao legendu, on se je vjerojatno bavio inženjerskom tehnikom i praktičnim postignućima. Navodno je svoje poznavanje mehanike koristio u doba rata i u tom je smislu djelovao kao antički inženjer (architecton), kojeg je jedno od područja djelovanja bilo vojno inženjerstvo.

Plutarh je prilično sigurno pretjerao prikazujući Arhimedov prijezir prema inženjerstvu, ako ga i nije u cijelosti krivotvorio. Ipak je znakovito što takve stavove nalazimo u djelu Život Marcellusa, neovisno o tome pripadaju li više Plutarhu nego samom Arhimedu. U stavovima obrazovane elite kojoj pripada Plutarh općenito nalazimo kombinaciju prijezira prema životu inženjera i nepoznavanja njegova djela. Takav stav, kojeg su snažno podupirali Platon i Aristotel, prevladava među autorima iz svih razdoblja antike.

Arhimedovi doprinosi

Arhimed tijekom obrane rodnog grada Sirakuze od Rimljana, je postao legendaran po svom tehničkom umijeću konstrukcije ratnih strojeva i pripisuju mu se mnoge ratne sprave (parabolična zrcala za paljenje brodova ili Arhimedove zrake smrti, Arhimedova kandža, najjači katapult u antici i drugo), ali nema valjanih dokaza da su uistinu bile izrađene i korištene.

Arhimedov zakon

Podrobniji članak o temi: Arhimedov zakon

Arhimedov zakon nazvan je po Arhimedu koji je prvi otkrio ovaj zakon, a koji glasi:

„Tijelo uronjeno u tekućinu lakše je za težinu istisnute tekućine.”

Hidrostatski tlak koji djeluje s gornje strane tijela (sl.1) je manji od hidrostatskog tlaka s donje strane. Razlika tih dvaju tlakova rezultira silom koja tjera tijelo prema gore tj. čini ga lakšim. Tu silu koja djeluje na tijelo uronjeno u tekućinu zovemo uzgon.

Arhimedov paradoks

Podrobniji članak o temi: Hidrostatički paradoks

Arhimedov paradoks ili hidrostatički paradoks glasi:

„Sila koju stvara hidrostatički tlak na vodoravno dno bilo kakve posude zavisi od dubine nestlačive tekućine i iznosa površine dna posude, a ne zavisi od oblika posude.”

Tako je u četiri posude različitih oblika na slici, otvorenih prema istom atmosferskom tlaku p_a, gdje je dubina vode H iznad jednakih iznosa površine A, i sila hidrostatičkog tlaka na dno svih posuda ista.

Arhimedov vijak

Podrobniji članak o temi: Arhimedov vijak

Arhimedov vijak je naprava koja se često tijekom povijesti upotrebljavala za premještanje vode u kanale za natapanje. To je jedan od izuma koji se pripisuje grčkom misliocu Arhimedu, iako postoji i druga teorija po kojoj su za ovaj izum zaslužni stanovnici Babilona prije Arhimeda, a postoji i pretpostavka da su se čuveni vrtovi Babilona natapali uz pomoć ovog tipa sisaljke. Osim toga, Arhimedov vijak je jedna od prvih poznatih sisaljki koje se spominju.

Poluga

Podrobniji članak o temi: Poluga

Arhimed nije otkrio polugu, ali je prvi objasnio i matematički objavio zakon poluge:

[math]\displaystyle{ T_{1} = M_{1}a=M_{2}b =T_{2},\! }[/math]

gdje je: M₁ – sila na jednoj strani poluge, M₂ - sila na drugoj strani poluge, a – krak sile (udaljenost sile ili težišta tijela do oslonca) M₁, b – krak sile M₂.

Arhimedov koloturnik

Podrobniji članak o temi: Koloturnik

Arhimedov ili obični koloturnik se sastoji od nekoliko pomičnih i nekoliko nepomičnih kolotura koje su smještene u dva kućišta. Gornje kućište je učvršćeno, a donje je pomično. Preko kolotura prolazi uže, pa na jednom kraju djeluje sila F, dok je drugi kraj pričvršćen na gornje nepomično kućište. Donje se kućište giba zajedno s teretom. Ako je n broj svih kolotura, broj nosećih užeta je isto n. Budući da svako uže nosi dio tereta G/n, to je za dizanje tereta potrebna sila ne uzevši u obzir trenje:

[math]\displaystyle{ F_{\rm} = \frac{G}{n} }[/math]

Arhimedove zrake smrti

Podrobniji članak o temi: Zraka smrti

Čitava je priča, dakle, započela u 3. st. pr. Kr., kada je Arhimed razvio ideju paraboličnog zrcala za paljenje kako bi stvorio prvo oružje u povijesti svijeta utemeljeno na tom načelu. Svi koji su provodili pokuse sa snažnim zrcalima i lećama za paljenje, kako bi fokusirali fantastično moćne zrake i uništavali predmete s velikih udaljenosti, samo su ponavljali Arhimedovo djelo. Ta zamisao, koju kolokvijalno nazivamo idejom o "smrtonosnoj zraci", živa je već stoljećima. Vatra se može zapaliti pomoću refleksije, refrakcije, te jednostavnog i složenog stakla ... Paraboličkim presjekom moguće je još učinkovitije s veće udaljenosti i u kraćem vremenu zapaliti predmete koji se nalaze ispred zrcala za paljenje: rastopit će se čak i olovo i lim, srebro i zlato. Zahvaljujući tom izumu, Arhimed je izvješću, zapalio rimsko brodovlje u doba kada je Marcelin opsjedao Sirakuzu. U svome djelu Život Pompilijev Plutarh kaže da je vatra koja je gorjela u Dijaninu hramu (zapravo, hramu božice Veste) zapaljena pomoću toga stakla ("staklo" ovdje valja protumačiti kao "zrcalo"). Postavi li se, dakle, nasuprot Suncu, ono će ubrzo zapaliti sve zapaljive predmete, a ako je istina da je Arhimed pomoću paraboličkog stakla postavljenog na gradske zidine spalio brodovlje, udaljenost (koja odgovara dosegu odapete strijele) nije mogla biti veća od deset koraka.

Katapult

Podrobniji članak o temi: Katapult

Rekonstrukcije nekih od antičkih oružja omogućile su mu da procijeni granice njihove učinkovitosti. Zaključeno je da je krajnji učinkoviti doseg katapulta bio oko 350 metara. Napredak je bio relativno brz tijekom nekih 150 godina od početka 4. stoljeća pr. Kr. (koliko znamo, artiljerija je u opsadi prvi put korištena kod Motoje, 397. pr. Kr.), a poboljšanja se opažaju sve do 1. stoljeća. Uglavnom, čini se da su istraživanja bila posve iskustvena. Vjerojatno su ih provodili znanstvenici-inženjeri, ali bez primjene bilo kakve znanstvene teorije ili korištenja teorijskih znanja. Nakon desetljeća strpljivih napora i bilježenja znanstvenici-inženjeri u Aleksandriji su došli do praktične i matematički točne "jednadžbe katapulta", koja je sadržavala treći korijen i davala najpovoljnije mjere za bilo koji balistički stroj i njegov projektil. Pomoću te jednadžbe je Arhimed navodno izgradio najveći katapult za izbacivanje kamena. No jednadžba je bila naprosto iskustveno pravilo izraženo matematički. Razvoj katapulta je bio rezultat inženjerskog istraživanja, prije nego primijenjene znanosti.

Modeli gibanja nebeskih tijela

Ciceron u jednom pismu svom prijatelju i učitelju Posidoniju piše kako je nedavno napravio globus koji svojim okretanjem pokazuje gibanje Sunca, zvijezda i planeta, kako danju, tako i noću, i to baš onako kako se pojavljuju na nebu. Osim toga je napisao kako je Arhimed smislio jedan raniji model koji je oponašao gibanje nebeskih tijela. Čini se da su ostaci Mehanizma iz Antikitere upravo računalo za određivanje dana po solarnom i lunarnom kalendaru. Jedan okretaj glavnog kotača odgovarao je jednoj solarnoj godini, a manji su kotači pokazivali položaj Sunca i Mjeseca, kao i dizanje najvažnijih zvijezda.

Arhimedova spirala

Arhimedova spirala je transcendentna krivulja koja nastaje kada točka, polazeći iz ishodišta, jednolično obilazi ishodište i jednolično se udaljuje od njega; udaljenost neke točke Arhimedove spirale od ishodišta razmjerna je pripadnom kutu zakreta.

Arhimedov aksiom

Arhimedov aksiom: za svaka dva realna broja [math]\displaystyle{ a, b \gt 0 }[/math] postoji prirodni broj [math]\displaystyle{ n }[/math] takav da je [math]\displaystyle{ nb \gt a }[/math].

Glavna djela

Između sačuvanih Arhimedovih djela najvažnija su:

• O kvadraturi parabole;
• O sferoidima i konoidima (Περί σφαıροεıδέων ϰαì ϰωνοεıδέων);
• O kugli i valjku (Περί σφαίρας ϰαì ϰυλίνδρου);
• O mjerenju kruga (Κύϰλου μέτρησıς);
• O tijelima uronjenima u vodu ili o plivanju tjelesa (Περì τῶν ὕδατı ἐφıσταμένων ἤ Περί τῶν ὀχουμένων);
• Račun s pješčanim zrncima;
• O ravnoteži ravnih likova (Ἐπıπέδων ἰσορροπίαı);
• Metoda (Πρὸς ἔφοδου)

Izvori

• moljac.hr :: Arhimed, uz dozvolu autora teksta