Mnogostrukost

Na sferi, zbroj kutova trokuta nije jednak 180°. Sfera nije euklidski prostor, ali lokalno su zakoni euklidske geometrije dobra aproksimacija. Kod malog trokuta na površini Zemlje, zbroj kutova trokuta je vrlo blizu 180°. Sfera se može predstaviti kao skup dvodimenzionalnih mapa, pa je stoga sfera mnogostrukost.

Mnogostrukost je apstraktan topološki prostor u kojem svaka točka ima okolinu koja podsjeća na euklidski prostor, ali čija globalna struktura može biti kompliciranija. Kada se proučavaju mnogostrukosti, pojam dimenzije je važan. Na primjer, prave su jednodimenzionalne, a ravni su dvodimenzionalne.

U jednodimenzionalnoj mnogostrukosti (jedan-mnogostrukost), svaka točka ima okolinu koja izgleda kao segment prave. Primjeri jedan-mnogostrukosti su prava, krug i dva odvojena kruga. Kod dva-mnogostrukosti, svaka točka ima okolinu koja podsjeća na disk. Kao primjeri se mogu uzeti ravan, površina sfere i površina torusa.

Mnogostrukosti su važni objekti u matematici i fizici, jer omogućavaju da se kompliciranije strukture izraze i shvate u okvirima relativno dobro razumljivih svojstava jednostavnijih prostora.

Često se na mnogostrukostima definiraju dodatne strukture. Primjeri mnogostrukosti sa dodatnim strukturama su diferencijabilne mnogostrukosti, na kojima možemo vršiti matematičku analizu, Rimanove mnogostrukosti, na kojima se mogu definirati razdaljine i kutevi, simplektičke mnogostrukosti koje služe kao fazni prostor u klasičnoj mehanici, i četverodimenzionalne pseudo-Rimanove mnogostrukosti, koje modeliraju prostor-vrijeme u općoj relativnosti.

Da bi se u potpunosti razumjela matematika koja leži u osnovi mnogostrukosti, neophodno je poznavati elementarne koncepte koji se tiču skupova i funkcija, a od koristi je imati i radno znanje iz analize i topologije.

Primjeri

Kružnica

Slika 1: Četiri karte od kojih svaka preslikava dio kružnice u otvoreni interval, zajedno pokrivaju cijelu kružnicu. Uzima se da je početak u središtu kružnice.

Kružnica je najjednostavniji primjer topološke mnogostrukosti poslije prave. Topologija ignorira savijanja, tako da je mali odjeljak kružnice jednak malom dijelu linije. Promatrajmo na primjer, gornju polovinu jedinične kružnice (kružnice sa poluprečnikom 1), -{x2 + y2 = 1}-, gdje su -{y}- koordinate pozitivne (označeno žutom na slici 1). Svaka točka ove polukružnice se na jedinstven način može opisati svojom -{x}- koordinatom. Tako se projektiranjem na prvu koordinatu dobiva neprekidno preslikavanje iz polukruga i otvorenog intervala (−1, 1):

$\chi _{\mathrm {gore} }(x,y)=x\,$

i slično

$\chi _{\mathrm {desno} }(x,y)=y.\,$

Takva funkcija se zove karta. Postoje odgovarajuće karte za donji (crvena), lijevi (plava) i desni (zelena) dio kružnice. Zajedno ovi dijelovi pokrivaju cijelu kružnicu i četiri karte formiraju atlas dane kružnice.

Gornja i desna karta se preklapaju: njihov presjek leži u četvrtini kružnice gdje su i -{x}- i -{y}- koordinate pozitivne. Karte -{χgore}- i -{χdesno}- obje preslikavaju ovaj dio bijektivno na interval (0, 1). Stoga se može konstruirati funkcija -{T}- sa (0, 1) na samog sebe, koja prvo invertira žutu kartu da bi došla do kruga, a zatim koristi zelenu kartu nazad na interval. Neka je -{a}- neki broj iz (0, 1), onda:

$T(a)=\chi _{\mathrm {desno} }\left(\chi _{\mathrm {gore} }^{-1}(a)\right)=\chi _{\mathrm {desno} }\left(a,{\sqrt {1-a^{2}}}\right)={\sqrt {1-a^{2}}}.$

Takva funkcija se zove tranzicionalno preslikavanje.

Slika 2: Karta mnogostrukosti kružnice, koja pokriva sve osim jedne točke kružnice.

Gornja, donja, lijeva i desna karta pokazuju da je kružnica mnogostrukost, ali one ne čine jedini mogući atlas kružnice. Karte ne moraju biti geometrijske projekcije, a njihov broj je donekle stvar izbora. Promatrajmo karte

$\chi _{\mathrm {minus} }(x,y)=s={y \over {1+x}}$

i

$\chi _{\mathrm {plus} }(x,y)=t={y \over {1-x}}.$

Ovdje je -{s}- nagib linije kroz točku na koordinatama -{(x, y)}- i fiksiranu pivot točku (−1, 0); -{t}- je slika u ogledalu, sa pivot točkom (+1, 0). Inverzno preslikavanje sa -{s}- na -{(x, y)}- glasi

$x={{1-s^{2}} \over {1+s^{2}}},\qquad y={{2s} \over {1+s^{2}}};$

i lako se može provjeriti da -{x2+y2 = 1}- za sve vrijednosti nagiba -{s}-. Ove dvije karte čine novi atlas za kružnicu, sa

$t={1 \over s}.$

Svaka karta izuzima jednu točku, ili (−1, 0) za -{s}- ili (+1, 0) za -{t}-, tako da nijedna karta sama po sebi nije dovoljna da pokrije cijelu kružnicu. Nije moguće pokriti cijelu kružnicu jednom kartom, jer je kružnica dvostruko povezana, a linija je jednostavno povezana. Treba imati u vidu da je moguće konstruirati kružnicu zaljepljivanjem jednog odsječka prave, ali to ne čini kartu, jer će se dio kruga preslikavati u oba zalijepljena područja u isto vrijeme.