Integral
Integral je ključna koncepcija više matematike, napose područja infinitezimalnog računa i matematičke analize. Ideju su integriranja oblikovali u kasnom sedamnaestom stoljeću Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz. Skupa s konceptom derivacije, integral je postao osnovni alat infinitezimalnog računa, s brojnim primjenama u znanosti i inženjerstvu. Integriranje i deriviranje su povezani osnovnim stavkom integralnog računa. Pod kolokvijalnim pojmom "integral" podrazumijevaju se dva, u matematici bitno različita pojma - određeni i neodređeni integral.
Određeni integral
Za danu funkciju f(x) realne varijable x i interval [a,b] na pravcu realnih brojeva, integral
predstavlja površinu područja u xy-ravnini ograničenu grafom od f, x-osi, i okomitim pravcima x=a i x=b.
Jednu od prvih rigoroznih matematičkih definicija određenog integrala dao je Bernhard Riemann. Zasnovana je na postupku graničnih vrijednosti pravokutnih površina kojima se aproksimira površina između krivulje i x-osi, njezinim dijeljenjem (razdiobom, subdivizijom) u vertikalne pravokutne odsječke. Pri tome se promatraju dvije aproksimacije; aproksimacija površinama većima od tražene površine, te aproksimacija površinama manjima od tražene površine. Te se aproksimacije nazivaju gornjom i donjom integralnom (ili Darboux-ovom) sumom. Ako se smanjivanjem širine intervala nad kojima su konstruirane aproksimativne površine, na način da maksimalna širina intervala razdiobe teži ka nuli, dobije konačna granična vrijednost, te ako je ta granična vrijednost jednaka za gornju i donju integralnu sumu, kažemo da određeni integral postoji i poprima vrijednost tog graničnog izraza (limesa)[1].
Počevši od devetnaestog stoljeća, pojavljuju se složenije oznake integriranja, pri čemu se poopćuje tip funkcije i domena integracije. Krivuljni integral je definiran za funkcije dvije ili tri varijable, i interval integracije [a,b] je zamijenjen određenim krivuljama koje spajaju dvije točke ravnine ili prostora. U plošnom integralu, krivulja je zamijenjena dijelom plohe trodimenzionalnog prostora. Integrali diferencijalnih formi igraju fundamentalnu ulogu u suvremenoj diferencijalnoj geometriji. Ova su poopćenja integrala prvotno iznikla iz potreba fizike, i igraju značajnu ulogu u oblikovanju fizikalnih zakona, napose u elektrodinamici. Apstraktnu matematičku teoriju poznatu kao Lebesque integracija je razvio Henri Lebesgue.
Neodređeni integral
Neodređeni integral, u oznaci
predstavlja potpuno drugi pojam. Njime označavamo "antiderivaciju", tj. ako s označimo , tada je . Funkcija F(x) naziva se "primitivnom funkcijom" funkcije f(x), ili njenom "antiderivacijom". Smisao tog matematičkog pojma je, za zadanu funkciju (f(x)) odrediti funkciju (F(x)) koja deriviranjem daje početnu funkciju[2].
Na primjer, ako je , tj. ako pokušamo odrediti , lako je vidjeti da je , budući je derivacija od upravo . No to nije jedina takva funkcija! Izraz možemo također dobiti deriviranjem izraza , ili npr. .
Lako se vidi da se svake dvije antiderivacije razlikuju za konstantu, tj. vrijedi ako su F(x) i G(x) dvije antiderivacije funkcije f(x) da je tada F(x) = G(x) + C, gdje je C neki realan broj. Zbog toga se u općem zapisu antiderivacije prilikom rješavanja neodređenih integrala u rješenju pojavljuje zapis "+C".
Antiderivacije za osnovne funkcije obično se navode u tablici osnovnih (neodređenih) integrala.
Osnovni teorem integralnog računa
Osnovni teorem integralnog računa (koji se često, po tvorcima, naziva i Newton-Leibnitzovom formulom) daje nam vezu određenog i neodređenog integrala. Njime je dokazano da se vrijednost određenog integrala (dakle, površina) može računati pomoću neodređenog integrala (dakle, antiderivacije) po formuli:
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_a^b \! f(x)\,dx = F(b) - F(a)\,}
gdje je F(x) primitivna funkcija (antiderivacija) funkcije f(x).
To se lako može izvesti. Neka imamo derivabilnu realnu funkciju Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x) } i neka je njezina derivacija Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F'(x) := f(x). } Predočimo funkciju Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } u Kartezijevoj ravnini i odaberimo neki interval na apscisi, Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a, b], a \neq b. } Sada zamislimo da smo taj segment Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a, b] } podijelili na Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \in \mathbb{N} } jednakih dijelova od kojih je svaki dugačak Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h = dx. } (pomaže vizualizirati da je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n } konačan, ali dovoljno veliki broj). Kada Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \rightarrow \infty } možemo napraviti sljedeće. Redom ćemo vrijednosti Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(a), f(a + dx), ..., f(b) } pomnožiti s Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h, } što usput odgovara pronalaženju površine ispod Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } na intervalu Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a, b] } jer možemo zamisliti da dijelimo površinu na sve više pseudopravokutnika kojemu je površina približno jednaka umnošku brojeva Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h } i dužine (primjerice) lijeve stranice tog pseudopravokutnika. Kako je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } derivacija funkcije Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x) } vrijedi da je za neki Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } iz domene funkcije Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } njezina izlazna vrijednost zapravo Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{F(x + dx) - F(x)}{dx}. } Zato će se gore navedenim postupkom množenjem s Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dx } i sumiranjem dobiti broj Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(a + dx) - F(a) + F(a + 2dx) - F(a + dx) + ... + F(b) - F(b - dx) } što je jednako Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(b) - F(a). }
Metode integriranja
Za razliku od deriviranja, integriranje je puno složeniji postupak. Dok poznavanjem tablice derivacija elementarnih funkcija i pravila za deriviranje (zbroja, razlike, umnoška, kvocjenta i složene funkcije) možemo derivirati svaku funkciju, kod integriranja postupak nije tako jednostavan. Integriranje poznaje samo dva (elementarna) pravila:
- Pravilo za integriranje funkcije pomnožene skalarom
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int A \cdot f(x) \, dx = A \cdot \int f(x) \, dx }
- Pravilo za integriranje zbroja i razlike funkcija
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int ( f(x) \pm g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx}
Ne postoje pravila za integriranje umnoška, kvocjenta ili složene funkcije, a mnogi integrali su dokazano nerješivi pomoću elementarnih funkcija, poput integrala Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int e^{x^2} \, dx } .
Tri osnovne metode koje koristimo za rješavanje integrala su[3]:
Metoda neposredne integracije je metoda u kojoj je cilj podintegralnu funkciju f(x) zapisati na matematički ekvivalentan način, ali koji omogućuje integriranje pomoću tablice osnovnih integrala. Na primjer, ne postoji pravilo za integriranje umnoška Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int ( x \cdot \sqrt x) \, dx }
, no ako podintegralnu funkciju zapišemo svođenjem izraza na zajedničku bazu x, Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int x^{\frac{3}{2}} \, dx }
, integral rješavamo uz pomoć tablice osnovnih integrala.
Metoda supstitucije je metoda kojom se dio ili cijela podintegralna funkcija zamijenila jednostavnijim izrazom.
Metoda parcijalne integracije je metoda čija je osnovna formula izvedena iz formule za deriviranje umnoška. Smisao metode je, prema postupku opisanom formulom, dio podintegralne funkcije derivirati, a dio integrirati (otuda i naziv parcijalna integracija). Cilj je pažljivim odabirom metodu provesti kako bi se nakon upotrebe metode dobio jednostavniji oblik integrala
Intuitivni pristup
Integriranje je suprotan postupak deriviranju, tj. kada učinimo ove radnje jednu za drugom, novisno o poretku (s pretpostavkom da je to moguće), dobivamo originalu funkciju. Integriranjem Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } tražimo površinu iznad ili ispod nje s obzirom na apscisu.
Da bismo razumjeli zašto je tome tako, ovdje navodimo intuitivni pristup ovome problemu. Neka imamo neprekidnu i derivabilnu funkciju Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x). } Neka imamo funkciju Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(x) } kojoj će očito ulazna vrijednost odgovarati ulaznoj vrijednosti Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } , a izlazna nagibu sekante određenoj točkama na Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x): } Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(x, f(x)), B(x + h, f(x + h) } . Kada Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h \rightarrow 0} nagib sekante postaje nagib tangente na točku Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A. } Drugim riječima, deriviravši Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x), } dobili smo funkciju koja opisuje osjetljivost promjene izlazne vrijednosti u odnosu na promjenu ulazne koja se promijeni za izuzetno mali iznos, Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h. }
Uzmimo sada za primjer s-t graf, tj. neka je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s(t) } funkcija puta o vremenu koji bilježimo pri neprekinutoj vožnji automobilom. Tu funkciju ćemo promatrati na intervalu Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [0, k] } zamislimo da je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h } izuzetno malen, ali određen (fiksan) i takav da je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k } njegov prirodni višekratnik. Tada je očito Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s(t) } rastuća funkcija. Deriviranjem te funkcije na intervalu Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [0, k] } dobili smo funkciju Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v(t) } , funkciju koja ima konačan broj ulaznih vrijednosti Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [0, h, ..., \frac{k}{h}) } i koja za izlazne vrijednosti ima vrijednosti prosječnih brzina na intervalima funkcije Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s(t) } : Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [0, h], (h, 2h], ... (\frac{k}{h} - h, \frac{k}{h}]. } Time smo dobili konačan broj pravokutnih trapeza određenih vrhovima Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_1(nh, 0), V_2(nh, v(nh), V_3((n + 1)h, 0), } Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_4((n + 1)h, v((n + 1)h), n \in \mathbb{N}. } Kako je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h } vrlo malen, površina trapeza gotovo je jednaka površini pravokutnika Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h \cdot v(nh). }
Uočimo da se sada površina (aproksimalno) može izračunati zbrajanjem površina svih pravokutnika: S = Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h \cdot v(0) + h \cdot v(h) + h \cdot v(2h) + ... + h \cdot v(\frac{k}{h}). } Ključan korak je u tome da je zapravo svaki taj umnožak, odnosno površina, jednaka Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h \cdot v(nh) } promjeni puta (jer je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h \cdot v(nh) = \frac{s_{nh} - s_{(n - 1)h}}{h} = s_{nh} - s_{(n - 1)h} } ) na intervalu Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ((n - 1)h, nh]. } Dakle, Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S } je zapravo jednak cjelokupno prijeđenom putu za vrijeme Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t = k. }
Neka je sada Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(t) } funkcija koja na gore pojašnjeni način opisuje površinu ispod grafa funkcije Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v(t). } Tada kažemo da smo integrirali Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v(t). } Zbog gore navednog argumenta zaključujujemo da zapravo Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(t) } opisuje prijeđeni put za neko vrijeme Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t, } odnosno Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(t) = s(t). } Za Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h \rightarrow 0} greška u računanju je zanemariva.
Ako je pak redoslijed obrnut, tj. prvo integriramo Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } , možemo zamisliti da je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) } derivacija neke funkcije što nas vraća na prethodni slučaj.
Dakle, integriranje i deriviranje iste funkcije su suprotni procesi.
Nepravi integral
Nepravi integral je proširenje koncepta integrala na poluotvorene segmente ili na interval Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a, b)} , s tim da rubna točka b može biti beskonačna i funkcija u okolini točke b može biti neograničena.[4]
Promotrimo funkciju Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \mapsto e^{-x}} . Pomoću nepravog integrala možemo i skupu ispod grafa te funkcije, i iznad osi x, na Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [0, +\infty)} dodijeliti njegovu površinu i to na ovaj način:
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-x}dx = \lim_{B \to +\infty} \int_{0}^{B} e^{-x} dx. }
U tom slučaju napisani limes se naziva nepravim integralom. Ako postoji taj limes onda se kaže da integral konvergira. Obično se u literaturi nepravi integral zapisuje isto kao i običan integral, pa čitatelj treba ispitivanjem podintegralne funkcije i granica integracije utvrditi o kojem je integralu riječ.
Izvori
- ↑ http://www.pmfst.hr/~jperic/DIR2-2012-13.pdf str. 28 Pristupljeno: 20. rujna 2013.
- ↑ http://www.pmfst.hr/~jperic/DIR2-2012-13.pdf str.1 Pristupljeno: 20. rujna 2013.
- ↑ http://www.fsb.unizg.hr/matematika/download/ZS/dif_racun_II/08_tehnike_integriranja.pdf Pristupljeno: 20. rujna 2013.
- ↑ Svetozar Kurepa: Matematička analiza 2 funkcije jedne varijable, Tehnička knjiga, Zagreb, 1971. (str. 231-234)