Metoda parcijalne integracije
Metoda parcijalne integracije je postupak u matematici u kojemu se integral koji se ne može izračunati svodi na integral koji može.
Neodređeni integral
Formula za parcijalnu integraciju se izvodi iz formule za derivaciju produkta funkcija [math]\displaystyle{ (uv)' = u'v + uv' }[/math], koja se može zapisati kao
- [math]\displaystyle{ \int uv' dx = uv - \int u'v dx }[/math]
što predstavlja formulu za parcijalnu integraciju.[1]:str. 308.
Funkcije [math]\displaystyle{ u }[/math] i [math]\displaystyle{ v }[/math] moraju biti izabrane tako da je integral s desne strane jednakosti moguće lakše izračunati nego početni. Treba imati na umu da će se u postupku morati izračunati i pomoćni integral
- [math]\displaystyle{ \int v' dx }[/math].
Kao jednostavan primjer može poslužiti integral
- [math]\displaystyle{ \int xe^x dx }[/math]
koji se izračunava parcijalnom integracijom stavljanjem [math]\displaystyle{ u = x }[/math] i [math]\displaystyle{ v' = e^x }[/math].
Određeni integral
Neka je [math]\displaystyle{ u : [a, b] \to \mathbb{R} }[/math] neprekidna funkcija, i [math]\displaystyle{ v : [a, b] \to \mathbb{R} }[/math] neprekidno diferencijabilna funkcija. Ako je [math]\displaystyle{ U }[/math] primitivna od [math]\displaystyle{ u }[/math] tada je formula za parcijalnu integraciju:[2]
- [math]\displaystyle{ \int_a^b u(x)v(x)dx = U(b)v(b) - U(a)v(a) - \int_a^b U(x)v'(x)dx }[/math]