e (matematička konstanta)

Matematička konstanta $e$, još nazvan i Eulerov broj ili Napierova konstanta, je baza prirodnog logaritma i jedan je od najznačajnijih brojeva u suvremenoj matematici, pored neutralnih elemenata za zbrajanje i množenje, 0 i 1, imaginarne jedinice i i broja pi. Osim što je iracionalan (dakle, realan), ovaj broj je još i transcendentan. Do tridesetog decimalnog mjesta, ovaj broj iznosi:

$e$ ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 34678 2376732 6727 267 274728 3 39^˘654...

Konstanta $e$ se može definirati kao:

1. Limes niza brojeva

   $e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

2. Suma beskonačnog niza:

   $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots$

   gdje je n! faktorijela n.

3. Pozitivna vrijednost koja zadovoljava sljedeću jednadžbu :

   $\int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt={1}$

   istovjetnost između ova tri slučaja dokazanа.

4. Ovaj broj se sreće i kao dio Eulerovog identitetа:

   $e^{\mathrm {i} \cdot \pi }=-1$

Nedovršeni članak E (matematička konstanta) koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima uređivanja Hrvatske internetske enciklopedije.

Motivacija

Kod linearnih funkcija oblika $y=ax+b$ prirast vrijednosti funkcije po prirastu ulazne vrijednosti je konstantan i iznosi $a,$ tj. ${\frac {dy}{dx}}=a.$

Kod polinomnih funkcija, tj. funkcija oblika $y=a_{n}\cdot x^{n}+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+1$ rast se mijenja, tj. postoji funkcija koja opisuje promjenu vrijednosti (ili nagiba tangente u svakoj točki krivulje) prvobitne funkcije. Ta nova funkcija naziva se derivacija.

Kod transcedentih (nealgebarskih - prelaze granice 4 osnovne računske operacije) funkcija nagib je osobito važan, rast je eksponencijalan. Primjerice, kod funkcije $f(x)=2^{x}$ lako se može računalnim programom ustvrditi da je graf njene derivacije vrlo sličan, ali uvijek (za sve elemente iz njene domene) nešto niži. Njena derivacija je približno jednaka $f'(x)=0.693\cdot 2^{x}.$ Ipak, za (i jedino za) jediničan prirast ulazne vrijednosti rast izlazne je točno jednak $2^{x}.$ To se lako dokaže: ${\frac {2^{x+1}-2^{x}}{1}}=2^{x}\iff 2^{x+1}=2\cdot 2^{x}=2^{x+1}$ (to je jedina funkcija za koju to vrijedi).

Sada se nameće pitanje: postoji li eksponencijalna funkcija $f(x)=a^{x}$ za koju vrijedi da za beskonačno mali prirast $dx$ je prirast $dy$ točno jednak $a^{x}.$ Odgovor na ovo pitanje nije teško naći. Neka je $dx=h\rightarrow 0.$

Pitamo se za koji $a$ je ${\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=a^{x}.$ Računamo: $a^{x+h}-a^{x}=h\cdot a^{x}\iff a^{x+h}=a^{x}(h+1),$ odakle je $a^{h}=h+1,$ pa dobivamo poznati limes $a=(1+h)^{\frac {1}{h}}.$ Dokazuje se da je taj limes (kada $h\rightarrow 0$) jednak $2.718281...$ i nazivamo ga Eulerovim brojem i označavamo s $e.$

Povezanost s kompleksnim brojevima

Gornji limes može se zapisati i kao $e=(1+{\frac {1}{n}})^{n}),n\rightarrow \infty .$ Poznato je da vrijedi $e^{x}=(1+{\frac {x}{n}})^{n},n\rightarrow \infty .$

Definicija imaginarnog eksponenta. Neka je $x\in \mathbb {R} .$ Definiramo $e^{xi}=(1+{\frac {xi}{n}})^{n},\rightarrow \infty .$ S drugačijim prikazom $e^{x}$ dobiva se poznata Eulerova formula $e^{xi}=\cos {x}+i\sin {x}.$ Ovdje ćemo na "originalnoj" definiji broja $e$ pikazati zašto formula vrijedi.

Množenje kompleksnih brojeva $(a,b)\cdot (c,d)$ svodi se na množenje njihovih modula i zbrajanja priklonih kuteva pa ako stavimo $(u+vi)^{n},u,v\in \mathbb {R}$ vidimo da dobivamo spiralu.

Objasnit ćemo Eulerov identitet, kada je $x=\pi .$ Vratimo se na limes $e^{\pi \cdot i}=(1+{\frac {\pi }{n}}i)^{n}.$ Očito se radi o kompleksnom broju $1+{\frac {\pi }{n}}i$ kojeg uzastopno množimo sa samim sobom, baš kao u prošlom primjeru. Kako $n\rightarrow \infty ,$ vidimo da se naš broj vertikalnk približava apscisi. Ako primotrimo luk jedinične kružnice sa središtem u ishodištu omeđen apscisom i pravcem $y={\frac {\pi }{n}}$ vidimo da je uvijek kraći od "visine" našeg kompleksnog broja. No, $n$ se povećava pa se razlika smanjuje, tj. prikloni kut postaje ${\frac {\pi }{n}}$ radijana te se magnituda približava broju $1.$ Dakle, $(1+{\frac {\pi }{n}})^{n},n\rightarrow \infty$ svodi se na potenciranje magnitude (koja teži u $1$) i n-terostrukog zbrajanja kuteva (koji približno iznose ${\frac {\pi }{n}}$ radijana) što nas po kružnoj putanji ($r\rightarrow 1$) dovodi u točku $(-1,0).$ To dokazuje, prema mnogima najljepšu "formulu" u matematici, $e^{\pi \cdot i}=-1.$