e (matematička konstanta)

Matematička konstanta Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e} , još nazvan i Eulerov broj ili Napierova konstanta, je baza prirodnog logaritma i jedan je od najznačajnijih brojeva u suvremenoj matematici, pored neutralnih elemenata za zbrajanje i množenje, 0 i 1, imaginarne jedinice i i broja pi. Osim što je iracionalan (dakle, realan), ovaj broj je još i transcendentan. Do tridesetog decimalnog mjesta, ovaj broj iznosi:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e} ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 34678 2376732 6727 267 274728 3 39^˘654...

Konstanta Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e} se može definirati kao:

1. Limes niza brojeva

   $e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

2. Suma beskonačnog niza:

   Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots}

   gdje je n! faktorijela n.

3. Pozitivna vrijednost koja zadovoljava sljedeću jednadžbu :

   Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{1}{t} \, dt = {1}}

   istovjetnost između ova tri slučaja dokazanа.

4. Ovaj broj se sreće i kao dio Eulerovog identitetа:

   Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle e^{\mathrm {i} \cdot \pi }=-1}

Nedovršeni članak E (matematička konstanta) koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima uređivanja Hrvatske internetske enciklopedije.

Motivacija

Kod linearnih funkcija oblika Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle y=ax+b} prirast vrijednosti funkcije po prirastu ulazne vrijednosti je konstantan i iznosi $a,$ tj. Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=a.}

Kod polinomnih funkcija, tj. funkcija oblika Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle y=a_{n}\cdot x^{n}+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+1} rast se mijenja, tj. postoji funkcija koja opisuje promjenu vrijednosti (ili nagiba tangente u svakoj točki krivulje) prvobitne funkcije. Ta nova funkcija naziva se derivacija.

Kod transcedentih (nealgebarskih - prelaze granice 4 osnovne računske operacije) funkcija nagib je osobito važan, rast je eksponencijalan. Primjerice, kod funkcije $f(x)=2^{x}$ lako se može računalnim programom ustvrditi da je graf njene derivacije vrlo sličan, ali uvijek (za sve elemente iz njene domene) nešto niži. Njena derivacija je približno jednaka Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f'(x)=0.693\cdot 2^{x}.} Ipak, za (i jedino za) jediničan prirast ulazne vrijednosti rast izlazne je točno jednak Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 2^{x}.} To se lako dokaže: ${\frac {2^{x+1}-2^{x}}{1}}=2^{x}\iff 2^{x+1}=2\cdot 2^{x}=2^{x+1}$ (to je jedina funkcija za koju to vrijedi).

Sada se nameće pitanje: postoji li eksponencijalna funkcija Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f(x)=a^{x}} za koju vrijedi da za beskonačno mali prirast Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle dx} je prirast $dy$ točno jednak Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle a^{x}.} Odgovor na ovo pitanje nije teško naći. Neka je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle dx=h\rightarrow 0.}

Pitamo se za koji $a$ je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=a^{x}.} Računamo: Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^{x + h} - a^x = h \cdot a^x \iff a^{x + h} = a^x(h + 1), } odakle je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^h = h + 1, } pa dobivamo poznati limes Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a = (1 + h)^\frac{1}{h}. } Dokazuje se da je taj limes (kada Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h \rightarrow 0 } ) jednak Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2.718281... } i nazivamo ga Eulerovim brojem i označavamo s Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e. }

Povezanost s kompleksnim brojevima

Gornji limes može se zapisati i kao Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e = (1 + \frac{1}{n})^n), n \rightarrow \infty. } Poznato je da vrijedi Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^x = (1 + \frac{x}{n})^n, n \rightarrow \infty. }

Definicija imaginarnog eksponenta. Neka je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in \mathbb{R}. } Definiramo Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{xi} = (1 + \frac{xi}{n})^n, \rightarrow \infty. } S drugačijim prikazom Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^x } dobiva se poznata Eulerova formula Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{xi} = \cos{x} + i\sin{x}. } Ovdje ćemo na "originalnoj" definiji broja Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e } pikazati zašto formula vrijedi.

Množenje kompleksnih brojeva Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a, b) \cdot (c, d) } svodi se na množenje njihovih modula i zbrajanja priklonih kuteva pa ako stavimo Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u + vi)^n, u, v \in \mathbb{R} } vidimo da dobivamo spiralu.

Objasnit ćemo Eulerov identitet, kada je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = \pi. } Vratimo se na limes Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{\pi \cdot i} = (1 + \frac{\pi}{n}i)^n. } Očito se radi o kompleksnom broju Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 + \frac{\pi}{n}i } kojeg uzastopno množimo sa samim sobom, baš kao u prošlom primjeru. Kako Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \rightarrow \infty, } vidimo da se naš broj vertikalnk približava apscisi. Ako primotrimo luk jedinične kružnice sa središtem u ishodištu omeđen apscisom i pravcem Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = \frac{\pi}{n} } vidimo da je uvijek kraći od "visine" našeg kompleksnog broja. No, Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n } se povećava pa se razlika smanjuje, tj. prikloni kut postaje Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\pi}{n} } radijana te se magnituda približava broju Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1. } Dakle, Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1 + \frac{\pi}{n})^n, n \rightarrow \infty } svodi se na potenciranje magnitude (koja teži u Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 } ) i n-terostrukog zbrajanja kuteva (koji približno iznose Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\pi}{n} } radijana) što nas po kružnoj putanji (Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r \rightarrow 1 } ) dovodi u točku Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (- 1, 0). } To dokazuje, prema mnogima najljepšu "formulu" u matematici, Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle e^{\pi \cdot i}=-1.}