Faktorijel
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5 040 |
| 8 | 40 320 |
| 9 | 362 880 |
| 10 | 3 628 800 |
| 11 | 39 916 800 |
| 12 | 479 001 600 |
| 13 | 6 227 020 800 |
| 14 | 87 178 291 200 |
| 15 | 1 307 674 368 000 |
U matematici, faktorijel ili faktorijela prirodnog broja n je umnožak svih prirodnih brojeva manjih ili jednakih n.
Faktorijeli se koriste u kombinatorici, algebri te matematičkoj analizi.
Notaciju n! uveo je Christian Kramp 1808.
Definicija
Definicija faktorijela za prirodne brojeve:
- Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod _{i=1}^{n}i}
Dodatno je definirano:
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0! = 1} .
Primjeri
- Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 2!=1\cdot 2=2}
- Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}
Osnovna svojstva
Za faktorijele vrijedi rekurzivna relacija:
- Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle n!=n\cdot (n-1)!\qquad ,n\geq 1} .
Faktorijeli brojeva većih od 1 su uvijek parni brojevi jer svaki broj pomnožen brojem 2, tj. bilo kojim parnim brojem, je paran broj.
Približno računanje faktorijela
Faktorijel relativno brzo raste što može predstavljati praktično ograničenje kod njegovog računanja. Na primjer, faktorijel broja 70 prelazi sto znamenki. Stoga je korisno za velike n koristiti takozvanu Stirlingovu formulu za približno izračunavanje faktorijela:
- Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}
Viši faktorijeli
Viši faktorijeli se označavaju ponavljanjem znaka '!', gdje broj ponavljanja označava redni broj višeg faktorijela.
- gdje je m redni broj višeg faktorijela.
- Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle z!...!=1} Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle z<=1}
Dvostruki faktorijel n!!
Izraz označava dvostruki faktorijel i odnosi se na faktorijel parnih i neparnih brojeva.
Definiraju se na ovaj način:
- Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle n!!=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \quad \ &&{\mbox{za }}n=0{\mbox{ ili }}n=1;\\n(n-2)!!&&{\mbox{za }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{matrix}}\right.}
Primjerice:
- Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 6!!=2\cdot 4\cdot 6=48}
ili pak
- .
Primorijel
Ako imamo prirodni broj Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle n>2} tada je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle n\#} umnožak prostih brojeva koji ne premašuju . Izraz Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\#} znači n primorijela.
Preciznije,
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\# = \begin{cases} 1 & \text{ako} \ \text{je} \ n = 0,\ 1 \\ (n-1)\# \times n & \text{ako} \ \text{je} \ n \ \text{prost} \\ (n-1)\# & \text{ako} \ n \ \text{nije} \ \text{prost}. \end{cases}}
Primijetimo da ćemo se, ako je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} složen, pri računanju spuštati dok ne dođemo do prvog prostog broja. Zatim ćemo taj prosti broj zapisati u umnošku i opet se dalje spuštati do prvog manjeg prostog broja, pa zatim množimo onaj veći prosti broj s idućim manjim, i opet se spuštamo, itd. Time ćemo u konačnici zaista dobiti umnožak prostih brojeva manjih od Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} .
Evo kako bi tekao račun za Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 9\# } .
Dakle, Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 9\# = 8\# = 7\# } i sada računamo Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 7 \cdot 6\# = 7 \cdot 5\# = 7 \cdot 5 \cdot 4\# } i tako dalje sve do Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\#} . Kako je po definiciji Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1\# = 1} slijedi Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 9\# = 105} .