Alef broj

U matematičkoj teoriji skupova, alef brojevi predstavljaju brojeve koji se koriste za označavanje kardinalnosti (broja članova) beskonačnih skupova. Njihova oznaka je hebrejsko slovo alef ([math]\displaystyle{ \aleph }[/math]).

Kardinalnost skupa prirodnih brojeva je [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math] (alef-nula); sljedeća veća kardinalnost je alef-jedan [math]\displaystyle{ \aleph_1 }[/math], pa [math]\displaystyle{ \aleph_2 }[/math] i tako dalje. Na ovaj je način moguće definirati kardinalni broj [math]\displaystyle{ \aleph_\alpha }[/math] za svaki ordinalni broj α.

Ovaj je koncept uveo Georg Cantor, koji je i uveo pojam kardinalnosti, te došao do zaključka da beskonačni skupovi mogu imati različite kardinalnosti.

Alef brojevi se razlikuju od beskonačnosti (∞) koja se često susreće u algebri ili matematičkoj analizi. Alef brojevi označuju veličinu skupova; beskonačnost, s druge strane, se obično definira kao krajnja granica pravca realnih brojeva. Iako neki alef brojevi mogu biti veći od drugih, ∞ je jednostavno ∞.

Alef-nula

Alef-nula ([math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math]) je po definiciji kardinalnost skupa svih prirodnih brojeva (pretpostavljajući, kao i obično, aksiom izbora). Alef-nula je najmanji od svih beskonačnih kardinalnosti. Skup ima kardinalnost [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math] ako i samo ako je prebrojivo beskonačan, što je slučaj ako i samo ako se može napraviti izravna bijekcija, ili jedan-jedan preslikavanje sa skupom prirodnih brojeva. Među takvim skupovima su skupovi svih prostih brojeva, svih cijelih brojeva ili skup svih racionalnih brojeva.

Alef-jedan

[math]\displaystyle{ \aleph_1 }[/math] je kardinalnost skupa svih prebrojivih ordinalnih brojeva, zvanog ω₁ ili Ω. Treba imati na umu da je ω₁ neprebrojiv skup. Ova teorija implicira (i u samoj Zermelo-Fraenkel teoriji skupova (ZF), bez aksioma izbora) da ne postoji kardinalan broj između [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ \aleph_1 }[/math]. Ako se koristi aksiom izbora, može se dalje dokazati da je klasa kardinalnih brojeva potpuno (totalno) uređena, te da je stoga [math]\displaystyle{ \aleph_1 }[/math] drugi najmanji beskonačan kardinalan broj. Korištenjem aksioma izbora se može pokazati jedno od najkorisnijih svojstava skupa Ω (standardan primjer skupa veličine [math]\displaystyle{ \aleph_1 }[/math]): svaki prebrojivi podskup skupa Ω ima gornju granicu (u odnosu na standardnu dobru uređenost ordinala) u Ω (dokaz je lak: prebrojiva unija prebrojivih skupova je prebrojiva - ovo je jedna od najčešćih primjena aksioma izbora). Ova činjenica je analogna situaciji u [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math]: svaki konačan skup prirodnih brojeva (podskup od ω) ima maksimum, koji je također prirodan broj (ima gornju granicu u ω) — konačne unije konačnih skupova su konačne.

Ω je u stvari koristan koncept, iako zvuči pomalo egzotičan. Primjer primjene je zatvaranje u odnosu na prebrojive operacije; na primjer, pokušaj eksplicitnog opisivanja σ-algebra generirane proizvoljnom kolekcijom podskupova. Ovo je teže od većine eksplicitnih opisa "generiranja" u algebri (na primjer vektorskih prostora, grupa, itd.) jer u tim slučajevima moramo zatvoriti samo u odnosu na konačne operacije - zbrajanja, umnoške i slično. Proces uključuje definiranje, za svaki prebrojivi ordinal, putem transfinitne indukcije, skupa ubacivanjem svih mogućih prebrojivih unija i komplemenata, i uzimanjem unije svega toga nad cijelim Ω.

Hipoteza kontinuuma

Kardinalnost skupa realnih brojeva je [math]\displaystyle{ 2^{\aleph_0} }[/math]. Nije jasno gdje ovaj broj potpada u hijerarhiji alef-brojeva. Iz hipoteze kontinuuma slijedi identitet:

[math]\displaystyle{ 2^{\aleph_0}=\aleph_1. }[/math]

Hipoteza kontinuuma je neovisna od Zermelo-Fraenkel teorije skupova s aksiomom izbora: ne može se ni dokazati niti opovrgnuti unutar konteksta tog aksiomatskog sustava. Kurt Gödel je 1940. dokazao njenu konzistentnost sa ZF teorijom skupova s aksiomom izbora; Paul Cohen je 1963. demonstrirao neovisnost od ZF teorije skupova s aksiomom izbora.

Alef-ω

Konvencionalno se najmanji beskonačan ordinal označuje sa ω, i kardinalan broj [math]\displaystyle{ \aleph_\omega }[/math] je najmanja gornja granica

[math]\displaystyle{ \left\{\,\aleph_n : n\in\left\{\,0,1,2,\dots\,\right\}\,\right\}. }[/math]

Alef-ω je prvi neprebrojivi kardinalan broj za koji se unutar ZF teorije skupova može pokazati da nije jednak kardinalnosti skupa realnih brojeva; za bilo koji pozitivan cijeli broj n se može konzistentno pretpostaviti da je [math]\displaystyle{ 2^{\aleph_0} = \aleph_n }[/math], i štoviše, moguće je pretpostaviti da je [math]\displaystyle{ 2^{\aleph_0} }[/math] proizvoljno velik.

Alef-α za opći α

Kako bi se definirao alef-α za proizvoljan ordinalan broj α, mora se definirati operacija kardinala sljedbenika, koja proizvoljnom kardinalnom broju ρ dodjeljuje sljedeći veći dobro uređen kardinal [math]\displaystyle{ \rho^+ }[/math]. (Ako vrijedi aksiom izbora, tada je ovo sljedeći veći kardinal.)

Tada se mogu definirati alef brojevi na sljedeći način

[math]\displaystyle{ \aleph_{0} = \omega }[/math]

[math]\displaystyle{ \aleph_{\alpha+1} = \aleph_{\alpha}^+ }[/math]

i za λ, beskonačan granični ordinal,

[math]\displaystyle{ \aleph_{\lambda} = \bigcup_{\beta \lt \lambda} \aleph_\beta. }[/math]

α-ti beskonačni početni ordinal se označuje sa [math]\displaystyle{ \omega_\alpha }[/math]. Njegova kardinalnost je [math]\displaystyle{ \aleph_\alpha }[/math].

Fiksne točke za alef

Za bilo koji ordinal α slijedi

[math]\displaystyle{ \alpha\leq\aleph_\alpha. }[/math]

U mnogim slučajevima [math]\displaystyle{ \aleph_{\alpha} }[/math] je strogo veći od α. Na primjer, za bilo koji ordinal sljedbenik α, ovo vrijedi. Međutim, postoje neki granični ordinali, koji su fiksne točke alef funkcije. Prvi takav je granica niza

[math]\displaystyle{ \aleph_0, \aleph_{\aleph_0}, \aleph_{\aleph_{\aleph_0}},\ldots }[/math]

Svaki nedostupni kardinal je također fiksna točka alef funkcije.

Vidjeti također