Prirodni broj

Prirodnim brojevima zovemo pozitivne cijele brojeve $\{1,2,3,...\}$. Skup prirodnih brojeva u matematici označavamo velikim slovom $\mathbb {N}$. Skup se često proširuje brojem nula te ga u tom slučaju označavamo sa $\mathbb {N} _{0}$.

Eksperimentalno možemo reći:

I   $\mathbb {N}$ nije prazan skup.

II   $\mathbb {N}$ je uređen skup.

III   Ako je n$\in \mathbb {N}$, onda je skup svih prirodnih brojeva manjih od n konačan skup.

IV   Skup $\mathbb {N}$ nema maksimalnog (najvećeg) člana.

Definicija

Neprazni skup $\mathbb {N}$ zove se skup prirodnih brojeva, a njegovi su elementi prirodni brojevi, ako vrijede ovi uvjeti (aksiomi):

Aksiom A: Postoji funkcija $s$ sa $\mathbb {N}$ u $\mathbb {N}$.

Aksiom B: Postoji barem jedan član u $\mathbb {N}$, označimo ga sa 1, takav da je $s(n)\neq 1,\;\forall n\in \mathbb {N}$.

Aksiom C: Ako je $s(m)=s(n)$ za $m,n\in \mathbb {N}$, onda je $m=n$.

Aksiom D: Ako je $\mathrm {M}$ podskup od $\mathbb {N}$ i ako vrijedi:

(I)  $1\in \mathrm {M}$

(II)  $\left(\forall n\in \mathbb {N} \right)\left(n\in \mathrm {M} \Rightarrow n+1\in \mathrm {M} \right)$

onda je $\mathrm {M} =\mathbb {N}$

Navedeni aksiomi poznati su pod imenom Peanovi aksiomi skupa prirodnih brojeva, prema talijanskom matematičaru G. Peanu (1858-1931).