Vektorski prostor

Vektorski ili linearni prostor je jedan od osnovnih algebarskih pojmova u matematici i osnovni objekt proučavanja u grani algebre koju zovemo linearna algebra. Pojam vektorskog prostora je nastao apstrakcijom i poopćavanjem algebarske strukture na skupu svih slobodnih vektora u prostoru klasične euklidske geometrije.

Primjene su široke uključujući u temeljnim disciplinama kao što su analiza i analitička geometrija. Definira se na sljedeći način:

Neka skup V ima strukturu Abelove grupe u odnosu na zbrajanje. Elemente skupa V zovemo vektori. Neutralni element označujemo oznakom [math]\displaystyle{ \vec{0} }[/math] (ili 0) i zovemo nul-vektor ili nulti vektor.

Neka skup F ima strukturu polja. Elemente skupa F zovemo skalari, a neutralne elemente u odnosu na dvije binarne operacije označujemo sa 0 i 1.

Na skupu F × V definirano je množenje vektora skalarom, tj. preslikavanje F × V → V, koje svakom skalaru [math]\displaystyle{ \alpha \in F }[/math] i svakom vektoru [math]\displaystyle{ x \in V }[/math] pridružuje vektor [math]\displaystyle{ \alpha x\in V }[/math], tako da vrijede sljedeći aksiomi:

(I) [math]\displaystyle{ \alpha (\beta \vec{v})=(\alpha \beta) \vec{v}, \forall \alpha , \beta \in F, \forall \vec{v}\in V }[/math]

(II) [math]\displaystyle{ \alpha (\vec{v}+\vec{w})=\alpha \vec{v}+\alpha \vec{w}, \forall \alpha \in F, \forall \vec{v}, \vec{w} \in V }[/math]

(III) [math]\displaystyle{ (\alpha + \beta )\vec{v}=\alpha \vec{v}+\beta \vec{w}, \forall \alpha ,\beta \in F, \forall\vec{v}\in V }[/math]

(IV) [math]\displaystyle{ 1 \vec{v}=\vec{v}, \forall \vec{v} \in V }[/math]

Ovako se definirano preslikavanje zove množenje vektora skalarom, dok se V opremljen tim preslikavanjem naziva vektorski prostor nad poljem F ili F-vektorski prostor.

Ponekad se promatraju i vektorski prostori nad tijelom, dakle u većoj općenitosti kad je F tijelo. Doslovno ponovljena gornja definicija gdje je F tijelo određuje lijevi vektorski prostor nad F. Desni vektorski prostori definiraju se analogno, pri čemu je množenje skalarom zdesna, V × F → V.

Uobičajeno je da se vektorski prostori nad poljem realnih odnosno kompleksnih brojeva nazivaju realni, odnosno kompleksni vektorski prostori, a nad tijelom kvaterniona, kvaternionski vektorski prostori.

Neka je [math]\displaystyle{ S\subset V }[/math] podskup skupa vektora vektorskog prostora. Kažemo da je vektor [math]\displaystyle{ \vec{v} }[/math] linearna kombinacija elemenata od [math]\displaystyle{ S }[/math] ako se da napisati u obliku [math]\displaystyle{ \alpha_1 \vec{v}_1 + \ldots + \alpha_k \vec{v}_k }[/math] gdje je [math]\displaystyle{ k }[/math] prirodni broj (ili nula) i gdje su [math]\displaystyle{ v_1,\ldots, v_k\in S }[/math] i [math]\displaystyle{ \alpha_1,\ldots,\alpha_k\in F }[/math]. Također možemo reći da je [math]\displaystyle{ \alpha_1 \vec{v}_1 + \ldots + \alpha_k \vec{v}_k }[/math] linearna kombinacija vektora [math]\displaystyle{ v_1,\ldots, v_k }[/math]. Kažemo da je [math]\displaystyle{ W\subset V }[/math] je vektorski (ili linearni) potprostor ako je svaka linearna kombinacija vektora iz [math]\displaystyle{ W }[/math] i sama u [math]\displaystyle{ W }[/math]. Ako je [math]\displaystyle{ S\subset V }[/math] ma koji skup vektora, tada je njegova linearna ljuska [math]\displaystyle{ Span_F(S) }[/math] skup svih vektora koji su linearne kombinacije vektora iz [math]\displaystyle{ S }[/math]. To je ujedno najmanji vektorski potprostor koji sadrži [math]\displaystyle{ S }[/math].

Preslikavanje [math]\displaystyle{ L: V\to W }[/math] među skupovima vektora dva vektorska prostora [math]\displaystyle{ V }[/math] i [math]\displaystyle{ W }[/math] nad istim poljem ili tijelom [math]\displaystyle{ F }[/math] zovemo aditivnim ako [math]\displaystyle{ L(\vec{v}_1+\vec{v}_2) = L(\vec{v}_1)+L(\vec{v}_2) }[/math] za svaka dva vektora [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in V }[/math], homogenim ako [math]\displaystyle{ L(\alpha\vec{v}) = \alpha L(\vec{v}) }[/math] za sve [math]\displaystyle{ \alpha\in F, \vec{v}\in V }[/math] i linearnim ako je i aditivno i homogeno preslikavanje. Linearno preslikavanje među skupovima vektora dvaju vektorskih prostora, nazivamo i linearnim operatorom (ili linearnom transformacijom) među vektorskim prostorima. Riječ linearni u sintagmi linearni operator se često i izostavlja.

Ukoliko je F polje, skup A opremljen djelovanjem [math]\displaystyle{ A \times V\to A, (a,\vec{v})\mapsto t_{\vec{v}}(a) }[/math] (translacija za vektor) Abelove grupe V zovemo afini prostor (nad poljem F) ukoliko je to djelovanje slobodno i tranzitivno. Elemente od A zovemo točkama afinog prostora. Rezultat djelovanja vektora [math]\displaystyle{ \vec{v}\in V }[/math] na točki [math]\displaystyle{ a }[/math] označavamo s [math]\displaystyle{ t_{\vec{v}}(a) }[/math] ili [math]\displaystyle{ a + \vec{v} }[/math] i tumači se kao translacija točke [math]\displaystyle{ a }[/math] za vektor [math]\displaystyle{ \vec{v} }[/math].

Uvjet slobodnosti znači da ako je [math]\displaystyle{ a +\vec{v} = a }[/math] za neki [math]\displaystyle{ a }[/math] tada je [math]\displaystyle{ \vec{v} = \vec{0} }[/math].

Uvjet tranzitivnosti znači da za svake dvije točke [math]\displaystyle{ a,b\in A }[/math] postoji vektor [math]\displaystyle{ \vec{v}\in V }[/math] takav da je [math]\displaystyle{ a + \vec{v} = b }[/math].
Slobodnost povlači da je taj vektor jedinstven i označava se ponekad s [math]\displaystyle{ \vec{v} = b - a }[/math].

To reproducira klasično određenje slobodnog vektora kao razreda ekvivalencije usmjerenih dužina, naime usmjerena dužina je određena uređenim parom točaka [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] (krajevi usmjerene dužine), a dvije usmjerene dužine su ekvivalentne ako se spojnica početka prve i kraja druge usmjerene dužine i spojnica početka druge i kraja prve dužine sijeku u jednoj točki koja ih raspolavlja.

Realni vektorski prostor [math]\displaystyle{ V }[/math] opremljen bilinearnom preslikavanjem [math]\displaystyle{ \left\langle, \right\rangle : V\times V\to }[/math] koje je linearno u oba argumenta (bilinearno preslikavanje), pozitivno definitno i simetrično zovemo realni unitarni prostor.

Konačno-dimenzionalni realni unitarni prostor ponekad nazivamo Euklidski vektorski prostor. Pod Euklidskim prostorom u modernom smislu, međutim, češće podrazumijevamo konačno dimenzionalni afini prostor čiji vektorski prostor translacija je realni unitarni prostor.

Literatura

Teorija konačno dimenzionalnih vektorskih prostora u potpunosti je izložena u knjizi Svetozar aKurepa: Konačno dimenzionalni vektorski prostori i primjene, Tehnička knjiga, Zagreb, 1967. Knjiga sadrži i zadatke kao uvod u samostalni rad. Aspekti teorije u beskonačno dimenzionalnom slučaju izloženi su u Svetozar Kurepa: Funkcionalna analiza, elementi teorije operatora, Školska knjiga, Zagreb, 1990. Kao uvod u vektorske prostore, s primjenama u geometriji, služe udžbenici za prirodoslovne gimnazije, kao npr. Branimir Dakić, Neven Elezović: Analitička geometrija, Element, Zagreb, 1998.