Vektorski prostor

Vektorski ili linearni prostor je jedan od osnovnih algebarskih pojmova u matematici i osnovni objekt proučavanja u grani algebre koju zovemo linearna algebra. Pojam vektorskog prostora je nastao apstrakcijom i poopćavanjem algebarske strukture na skupu svih slobodnih vektora u prostoru klasične euklidske geometrije.

Primjene su široke uključujući u temeljnim disciplinama kao što su analiza i analitička geometrija. Definira se na sljedeći način:

Neka skup V ima strukturu Abelove grupe u odnosu na zbrajanje. Elemente skupa V zovemo vektori. Neutralni element označujemo oznakom Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\vec {0}}} (ili 0) i zovemo nul-vektor ili nulti vektor.

Neka skup F ima strukturu polja. Elemente skupa F zovemo skalari, a neutralne elemente u odnosu na dvije binarne operacije označujemo sa 0 i 1.

Na skupu F × V definirano je množenje vektora skalarom, tj. preslikavanje F × V → V, koje svakom skalaru Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \alpha \in F} i svakom vektoru Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x\in V} pridružuje vektor Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \alpha x\in V} , tako da vrijede sljedeći aksiomi:

(I) Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \alpha (\beta {\vec {v}})=(\alpha \beta ){\vec {v}},\forall \alpha ,\beta \in F,\forall {\vec {v}}\in V}

(II) Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \alpha ({\vec {v}}+{\vec {w}})=\alpha {\vec {v}}+\alpha {\vec {w}},\forall \alpha \in F,\forall {\vec {v}},{\vec {w}}\in V}

(III) Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (\alpha +\beta ){\vec {v}}=\alpha {\vec {v}}+\beta {\vec {w}},\forall \alpha ,\beta \in F,\forall {\vec {v}}\in V}

(IV) Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 1{\vec {v}}={\vec {v}},\forall {\vec {v}}\in V}

Ovako se definirano preslikavanje zove množenje vektora skalarom, dok se V opremljen tim preslikavanjem naziva vektorski prostor nad poljem F ili F-vektorski prostor.

Ponekad se promatraju i vektorski prostori nad tijelom, dakle u većoj općenitosti kad je F tijelo. Doslovno ponovljena gornja definicija gdje je F tijelo određuje lijevi vektorski prostor nad F. Desni vektorski prostori definiraju se analogno, pri čemu je množenje skalarom zdesna, V × F → V.

Uobičajeno je da se vektorski prostori nad poljem realnih odnosno kompleksnih brojeva nazivaju realni, odnosno kompleksni vektorski prostori, a nad tijelom kvaterniona, kvaternionski vektorski prostori.

Neka je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle S\subset V} podskup skupa vektora vektorskog prostora. Kažemo da je vektor ${\vec {v}}$ linearna kombinacija elemenata od Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle S} ako se da napisati u obliku $\alpha _{1}{\vec {v}}_{1}+\ldots +\alpha _{k}{\vec {v}}_{k}$ gdje je $k$ prirodni broj (ili nula) i gdje su Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in S} i Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\in F} . Također možemo reći da je $\alpha _{1}{\vec {v}}_{1}+\ldots +\alpha _{k}{\vec {v}}_{k}$ linearna kombinacija vektora Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}} . Kažemo da je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle W\subset V} je vektorski (ili linearni) potprostor ako je svaka linearna kombinacija vektora iz $W$ i sama u $W$. Ako je $S\subset V$ ma koji skup vektora, tada je njegova linearna ljuska Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle Span_{F}(S)} skup svih vektora koji su linearne kombinacije vektora iz Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle S} . To je ujedno najmanji vektorski potprostor koji sadrži Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle S} .

Preslikavanje Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle L:V\to W} među skupovima vektora dva vektorska prostora $V$ i $W$ nad istim poljem ili tijelom Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle F} zovemo aditivnim ako $L({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})=L({\vec {v}}_{1})+L({\vec {v}}_{2})$ za svaka dva vektora Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle v_{1},v_{2}\in V} , homogenim ako Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle L(\alpha {\vec {v}})=\alpha L({\vec {v}})} za sve Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \alpha \in F,{\vec {v}}\in V} i linearnim ako je i aditivno i homogeno preslikavanje. Linearno preslikavanje među skupovima vektora dvaju vektorskih prostora, nazivamo i linearnim operatorom (ili linearnom transformacijom) među vektorskim prostorima. Riječ linearni u sintagmi linearni operator se često i izostavlja.

Ukoliko je F polje, skup A opremljen djelovanjem Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle A\times V\to A,(a,{\vec {v}})\mapsto t_{\vec {v}}(a)} (translacija za vektor) Abelove grupe V zovemo afini prostor (nad poljem F) ukoliko je to djelovanje slobodno i tranzitivno. Elemente od A zovemo točkama afinog prostora. Rezultat djelovanja vektora Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\vec {v}}\in V} na točki $a$ označavamo s $t_{\vec {v}}(a)$ ili Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle a+{\vec {v}}} i tumači se kao translacija točke $a$ za vektor ${\vec {v}}$.

• Uvjet slobodnosti znači da ako je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle a+{\vec {v}}=a} za neki Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} tada je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\vec {v}}={\vec {0}}} .

• Uvjet tranzitivnosti znači da za svake dvije točke Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b\in A} postoji vektor Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{v}\in V} takav da je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a + \vec{v} = b} .
• Slobodnost povlači da je taj vektor jedinstven i označava se ponekad s Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{v} = b - a} .

To reproducira klasično određenje slobodnog vektora kao razreda ekvivalencije usmjerenih dužina, naime usmjerena dužina je određena uređenim parom točaka Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,b)} (krajevi usmjerene dužine), a dvije usmjerene dužine su ekvivalentne ako se spojnica početka prve i kraja druge usmjerene dužine i spojnica početka druge i kraja prve dužine sijeku u jednoj točki koja ih raspolavlja.

Realni vektorski prostor Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} opremljen bilinearnom preslikavanjem Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle, \right\rangle : V\times V\to } koje je linearno u oba argumenta (bilinearno preslikavanje), pozitivno definitno i simetrično zovemo realni unitarni prostor.

Konačno-dimenzionalni realni unitarni prostor ponekad nazivamo Euklidski vektorski prostor. Pod Euklidskim prostorom u modernom smislu, međutim, češće podrazumijevamo konačno dimenzionalni afini prostor čiji vektorski prostor translacija je realni unitarni prostor.

Literatura

Teorija konačno dimenzionalnih vektorskih prostora u potpunosti je izložena u knjizi Svetozar aKurepa: Konačno dimenzionalni vektorski prostori i primjene, Tehnička knjiga, Zagreb, 1967. Knjiga sadrži i zadatke kao uvod u samostalni rad. Aspekti teorije u beskonačno dimenzionalnom slučaju izloženi su u Svetozar Kurepa: Funkcionalna analiza, elementi teorije operatora, Školska knjiga, Zagreb, 1990. Kao uvod u vektorske prostore, s primjenama u geometriji, služe udžbenici za prirodoslovne gimnazije, kao npr. Branimir Dakić, Neven Elezović: Analitička geometrija, Element, Zagreb, 1998.