Pi (broj)

Broj pi opisan pomoću jedinične kružnice

Popis brojeva – Iracionalni brojevi s ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δ
Binarno	11,00100100001111110110…
Dekadski	3,14159265358979323846…
Heksadekadski	3,243F6A8885A308D31319…
Beskonačni razlomak	$3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+\ddots }}}}}}}}$ Primijeti da niz razlomaka nije periodičan.

Pi ili π je matematička konstanta, danas široko primjenjivana u matematici i fizici. Definira se kao odnos opsega i promjera kruga. Pi je također poznat i kao Arhimedova konstanta (ne treba ga miješati s Arhimedovim brojem) ili Ludolfov broj. U praksi se bilježi malim grčkim slovom π a u hrvatskom jeziku je pravilno pisati i pi.

Numerička vrijednost pi zaokružena na 64 decimalna mjesta je:

π ≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923

Neke formule u kojima se pojavljuje pi (π)

Geometrijski oblik	Formula
Opseg kruga polumjerа r odnosno promjerа d	$O=\pi d=2\pi r\,\!$
Površinа kruga polumjerа r	$P=\pi r^{2}\,\!$
Površinа elipse sa poluosima a i b	$P=\pi ab\,\!$
Obujam kugle polumjerа r	$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\,\!$
Površinа kugle polumjerа r	$P=4\pi r^{2}\,\!$
Obujam valjka visine H i polumjerа r	$V=\pi r^{2}H\,\!$
Površina valjka visinе H i polumjerа r	$P=2(\pi r^{2})+(2\pi r)H=2\pi r(r+H)\,\!$
Obujam stošca visinе H i polumjerа r	$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}H\,\!$
Površinа stošca visine H i polumjerа r	$P=\pi r{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}+\pi r^{2}=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+H^{2}}})\,\!$

Osnove

Definicija

Broj π se definira kao omjer opsega i promjera kružnice.

$\pi ={\frac {O}{2r}}$

Primijetite da omjer ^O/_d ne ovisi o veličini kruga.

Druga pak definicija proizlazi iz površine kruga. Pi je omjer površine kruga i kvadrata radijusa:

$\pi ={\frac {A}{r^{2}}}$

Iracionalnost

Podrobniji članak o temi: Dokaz da je π iracionalan broj

Konstanta π je iracionalan broj koji se ne može definirati omjerom dva cijela broja. To je 1761. godine dokazao Johann Heinrich Lambert. Dokazi izvedeni u 20. stoljeću vrlo često zahtijevaju znanje integralnog računa i visoke matematike općenito.

Računanje broja π

π se može empirijski procijeniti crtanjem velikog kruga, zatim mjerenjem njegovog promjera i opsega te dijeljenjem opsega promjerom. Drugo geometrijski zasnovano približenje po Arhimedu, računanje opsega, P_n, pravilnog mnogokuta sa n stranica upisanih u kružnicu promjera d. Tako se dobije

$\pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n}}{d}}$

Postoje i čisto numeričke metode za računanje π. No, u većini slučajeva one su posve nedokučive geometrijskoj intuiciji jer koriste razne jednakosti koje povezuju algebru, trigonometriju i druga područja matematike, a u kojima se (katkada neočekivano) pojavljuje π. Primjer je suma niza recipročnih kvadrata prirodnih brojeva - tzv. Baselski problem, čije je rješenje Euleru dalo motivaciju za Riemannovu zeta-funkciju:

${\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

Jednu relativno jednostavnu metodu koja koristi nizove otkrili su Gottfried Leibniz i James Gregory:

$\pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}\cdots \!$.

Navedeni niz je lagan za izračun, no nije odmah uočljivo da je rezultat π. Štoviše, ovaj niz konvergira tako sporo da je nužno preko 300 članova kako bi se dobile točne 2 decimale .

Povijest

Podrobniji članak o temi: Numeričke aproksimacije broja π

Povijest spoznaja o broju π teče usporedno s razvojem same matematike. Neki autori napredak na tom polju dijele na tri razdoblja: antičko-u kojem je računat geometrijski, klasično- kojem se računalo pomoću više matematike u Europi oko 17. stoljeća te na treće razdoblje-razdoblje digitalnog računanja na računalima.

Geometrijsko razdoblje

Činjenica da je omjer opsega kružnice i promjera isti za sve kružnice te da iznosi malo više od 3 bila je poznata i u antičkim vremenima. Tu su činjenicu znali egipatski, babilonski, indijski i grčki matematičari. Najranija poznata aproksimacija datira oko 1900. prije Krista. Ona iznosi 25/8 (Babilon) te 256/81 (Egipat), obe unutar 1 % odstupanja o stvarne vrijednosti. Indijski tekst Shatapatha Brahmana definira vrijednost π kao 339/108 ≈ 3,139. Tanah predlaže u Knjizi o kraljevima da je π = 3. Ta je vrijednost uočljivo netočnija od približenja dostupnih iz tog vremena (600. prije Krista).

Arhimed sa Sirakuze (287.-212. pr. Kr.) je bio prvi koji je točno procijenio vrijednost broja π. Shvatio je kako njegova vrijednost može biti određena upisivanjem pravilnih mnogokuta unutar kruga.

Kako bi izračun bio što točniji trebalo je rabiti mnogokut sa što više kuteva. Koristeći se 96-stranim mnogokutom dokazao je da je 223/71 < π < 22/7.

U sljedećim stoljećima, najveći napredak na tom polju ostvaren je u Indiji i Kini. Oko 265. godine matematičar Liu Hui iz kraljevstva Wei otkrio je jednostavan i točan algoritam za izračun broja pi do bilo koje razine točnosti. On je računao s mnogokutom od 3072 stranice i dobio rezultat pi=3,1416.

${\begin{aligned}\pi \approx A_{3072}&{}=768{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\&{}\approx 3,14159.\end{aligned}}$

Liu Huijev algoritam aproksimira π pomoću površina niza mnogokuta sa sve većim brojem stranica

Kasnije je Liu Hui izmislio Liu Huijev π algoritam te postigao π=3,1416 koristeći mnogokut od samo 96 stranica, rabeći prednost činjenice da razlika u površinama uzastopnih poligona tvori geometrijski niz s faktorom 4.

Oko 480. godine kineski matematičar Zu Chongzhi dao je aproksimaciju π=355/113 te pokazao da je 3,1415926 < π < 3,1415927. To je dobio rabeći Liu Huijev π algoritam za poligon od 12288 stranica. To će se pokazati najtočnijim izračunom broja u sljedećih 900 godina.

Klasično razdoblje

Do drugog tisućljeća π je bio poznat na manje od 10 decimalnih mjesta. Sljedeći glavni napredak dogodio se pojavom više matematike te posebice otkrićem beskonačnih nizova. Ti nizovi teoretski dopuštaju izračun π do bilo koje željene vrijednosti dodavanjem potrebnog broja članova. Oko godine 1400-te, Madhava iz Sangamagrama je otkrio prvi poznati niz takve vrste:

${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots \!$

Ne toliko poznata kao Gregory-Leibnizova formula:

$\pi ={\sqrt {12}}\,\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)\!$

Madhava je uspio izračunati do sljedeće točnosti na 11 decimalnih mjesta:

• π = 3,14159265359 .

Rekord je 1424. godine potukao perzijski astronom Jamshīd al-Kāshī, koji je izračunao 16 decimala broja π.

Prvi veliki napredak u izračunu broja π nakon Arhimeda je napravio njemački matematičar Ludolph van Ceulen (1540.–1610.), koji je rabio Arhimedovu metodu te pomoću mnogokuta sa 60·20²⁹ stranica kako bi izračunao 35 decimala broja π. Bio je tako ponosan na izračun, koji je zahtijevao veći dio njegovog života, da je znamenke dao uklesati na svoj nadgrobni spomenik.

Otprilike u isto doba, metode više matematike i određivanje beskonačnih nizova počele su izranjati po Europi. Prva od poznatih takve vrste je Vièteova formula,

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \cdots \!$

koju je otkrio François Viète godine 1593. Drugi poznati rezultat je Wallisov umnožak,

${\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots \!$

kojega je otkrio John Wallis. Godine 1655. Isaac Newton je osobno izveo niz za računanje π s kojim je izračunao 15 decimala, iako je kasnije priznao: "Sram me reći vam koliko sam figura rabio za ovaj izračun ne imajući nikakvog drugog posla."

Godine 1706. John Machin je prvi izračunao 100 decimala broja π rabeći formulu:

${\frac {\pi }{4}}=4\,\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}\!$

pritom se koristeći formulom

$\arctan \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \!$ .

Formule ove vrste, sada poznate pod nazivom strojne formule, su bile korištene za postavljanje nekoliko uspješnih rekorda i ostale zapamćene kao najbolje poznate metode za računanje u doba računala.

Ovaj članak ili dio članka, djelomično ili uopće nije preveden s engleskog jezika. Slobodno pomozite u prijevodu vodeći računa o stilu i pravopisu. Izvornik se možda nalazi na popisu drugih jezika.

Izračuni digitalnog doba

Pojava digitalnih računala u 20. stoljeću dovodi do postavljanja novih rekord u računanju broja π. Koristeći ENIAC, John von Neumann je izračunao 2037 znamenaka broja π godine 1949.. Za taj izračun mu je bilo potrebno 70 sati. Dodatne tisuće decimalnih mjesta dobivene su u sljedećim desetljećima, s prekretnicom godine 1973. kada je izračunata milijunta znamenka.

Napredak nije bio samo posljedica bržih strojeva nego i novih algoritama. Jedan od najznačajnijih napredaka bilo je otkriće Fourierove transformacije godine 1960. koja računalima omogućuje aritmetički izračun ekstremno velikih brojeva vrlo velikom brzinom.

Početkom 20. stoljeća, indijski matematičar Srinivasa Ramanujan je otkrio mnogo novih formula za računanje broja π, od kojih su neke iznimne po svojoj jednostavnosti i matematičkoj pronicljivosti. Dvije njegove najpoznatije formule su:

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}\!$

te

${\frac {426880{\sqrt {10005}}}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}\!$

koje donose 14 znamenki po izračunu. Braća Chudnovsky rabila su ovu formulu prilikom nekoliko rekordnih izračuna π krajem 1980-ih, uključujući prvi izračun preko milijardu znamenaka ikad (sa 1.011,196.691 znamenaka) u 1989. godini. Dotična formula i dalje je izbor za računanje u programima za računanje broja na osobnim računalima, za razliku od superračunala koja se rabe za obaranje suvremenih rekorda.

Pamćenje znamenki

Pifilologija je umijeće pamćenja velikog broja znamenki broja π. Rekord u pamćenju znamenki broja π, prema Guinnessovoj knjizi rekorda, je 70 000 znamenki, koje je 21. ožujka 2015. u Indiji izrecitirao Rajveer Meena. Za pothvat mu je trebalo 9 sati i 27 minuti. Jedna od poznatijih tehnika za pamćenje broja pi je tzv piema (poema + pi), gdje pamtimo stihove, a broj slova u svakoj riječi odgovara znamenci broja pi na tom mjestu.

Izvori

Nedovršeni članak Pi (broj) koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima uređivanja Hrvatske internetske enciklopedije.