Riemannova zeta-funkcija

Izvor: Hrvatska internetska enciklopedija
Skoči na:orijentacija, traži
Riemannova zeta-funkcija u kompleksnoj ravnini
Riemannova zeta-funkcija za realni s > 1

U matematici, Riemannova zeta-funkcija, nazvana po Bernhardu Riemannu, je važna funkcija u teoriji brojeva zbog veze s teoremom o raspodjeli prostih brojeva. Također se primjenjuje u fizici, teoriji vjerojatnosti, i primijenjenoj statistici.

Motivacija

Prvi korak ka Riemannovoj zeta-funkciji bilo je rješenje Baselskog problema, koje je 1735. postigao Leonhard Euler. To je bila suma reda

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \zeta(2) }[/math].

Koristeći tehnike množenja i faktorizacije konačnih polinoma na beskonačnim polinomima[1] i povlačeći paralelu s Taylorovim redom funkcije sinus, Euler je izveo ζ(2), a ubrzo je svojom tehnikom došao i do izvoda vrijednosti zeta-funkcije i za sve veće parne brojeve.[2] Funkcija je kasnije proširena na sve kompleksne brojeve čiji je realni dio veći od 1.

Riemann je prvi detaljno istražio svojstva funkcije, povezao ju s prostim brojevima te dao tzv. Riemannovu hipotezu, pa se stoga funkcija i naziva po njemu.

Definicija

Funkcija ζ(s) je funkcija kompleksne varijable s i najprije se definirala sljedećom beskonačnom sumom:

[math]\displaystyle{ \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} }[/math]

Leonhard Euler je otkrio vezu zeta-funkcije i raspodjele prostih brojeva:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}& = \prod_{p \text{ prim}} \frac{1}{1-p^{-s}} \\ & = \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots, \end{align} }[/math]

gdje, po definiciji, lijeva strana je ζ(s) a beskonačni produkt na desnoj strani je po svim prostim brojevima p.

Zeta-funkcija daje sljedeće vrijednosti za neke odabrane brojeve:

[math]\displaystyle{ \zeta(0) = -1/2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \zeta(1/2) \approx -1.4603545088095868 }[/math]
[math]\displaystyle{ \zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty }[/math]; (harmonijski red)
[math]\displaystyle{ \zeta(3/2) \approx 2.612 }[/math]; koristi se za računanje kritične temperature Bose–Einsteinovog kondenzata u fizici.
[math]\displaystyle{ \zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645 }[/math]; dokaz ove jednakosti je tzv. Bazelski problem.
[math]\displaystyle{ \zeta(5/2) \approx 1.341 }[/math]
[math]\displaystyle{ \zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots \approx 1.202 }[/math]; tzv. Apéryjeva konstanta
[math]\displaystyle{ \zeta(7/2) \approx 1.127 }[/math]
[math]\displaystyle{ \zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} \approx 1.0823 }[/math]

Poznato je da zeta-funkcija ima nultočke -2, -4, -6... One se nazivaju trivijalnima. Hipoteza da sve ostale (kompleksne) nultočke imaju realni dio jednak 1/2 je poznata kao Riemannova hipoteza i do sada nije riješena.

Vidi još

Izvori

  1. Ova metoda nije rigorozna i može proizvesti kontradikcije, no u ovom slučaju je dala točan rezultat. Euler je 1741. rigorozno dokazao svoj rezultat.
  2. +plus magazine An infinite series of surprises, objavljeno 1. prosinca 2001., pristupljeno 1. listopada 2020. (engl.)

Literatura

  • Bernhard Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (1859). In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
  • Jacques Hadamard, Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Societé Mathématique de France 14 (1896) pp 199-220.
  • Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe, (1930) Math. Z. 32 pp 458-464. (Globally convergent series expression.)
  • E. T. Whittaker and G. N. Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press (Chapter XIII).

Vanjske poveznice

  1. PREUSMJERI Predložak:Kategorizirati