e (matematička konstanta)

Matematička konstanta [math]\displaystyle{ e }[/math], još nazvan i Eulerov broj ili Napierova konstanta, je baza prirodnog logaritma i jedan je od najznačajnijih brojeva u suvremenoj matematici, pored neutralnih elemenata za zbrajanje i množenje, 0 i 1, imaginarne jedinice i i broja pi. Osim što je iracionalan (dakle, realan), ovaj broj je još i transcendentan. Do tridesetog decimalnog mjesta, ovaj broj iznosi:

[math]\displaystyle{ e }[/math] ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 34678 2376732 6727 267 274728 3 39^˘654...

Konstanta [math]\displaystyle{ e }[/math] se može definirati kao:

1. Limes niza brojeva

   [math]\displaystyle{ e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n }[/math]

2. Suma beskonačnog niza:

   [math]\displaystyle{ e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots }[/math]

   gdje je n! faktorijela n.

3. Pozitivna vrijednost koja zadovoljava sljedeću jednadžbu :

   [math]\displaystyle{ \int_{1}^{e} \frac{1}{t} \, dt = {1} }[/math]

   istovjetnost između ova tri slučaja dokazanа.

4. Ovaj broj se sreće i kao dio Eulerovog identitetа:

   [math]\displaystyle{ e^{\mathrm i\cdot\pi} = -1 }[/math]

Nedovršeni članak E (matematička konstanta) koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima uređivanja Hrvatske internetske enciklopedije.

Motivacija

Kod linearnih funkcija oblika [math]\displaystyle{ y = ax + b }[/math] prirast vrijednosti funkcije po prirastu ulazne vrijednosti je konstantan i iznosi [math]\displaystyle{ a, }[/math] tj. [math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = a. }[/math]

Kod polinomnih funkcija, tj. funkcija oblika [math]\displaystyle{ y = a_n \cdot x^n + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + ... + 1 }[/math] rast se mijenja, tj. postoji funkcija koja opisuje promjenu vrijednosti (ili nagiba tangente u svakoj točki krivulje) prvobitne funkcije. Ta nova funkcija naziva se derivacija.

Kod transcedentih (nealgebarskih - prelaze granice 4 osnovne računske operacije) funkcija nagib je osobito važan, rast je eksponencijalan. Primjerice, kod funkcije [math]\displaystyle{ f(x) = 2^x }[/math] lako se može računalnim programom ustvrditi da je graf njene derivacije vrlo sličan, ali uvijek (za sve elemente iz njene domene) nešto niži. Njena derivacija je približno jednaka [math]\displaystyle{ f'(x) = 0.693 \cdot 2^x. }[/math] Ipak, za (i jedino za) jediničan prirast ulazne vrijednosti rast izlazne je točno jednak [math]\displaystyle{ 2^x. }[/math] To se lako dokaže: [math]\displaystyle{ \frac{2^{x + 1} - 2^x}{1} = 2^x \iff 2^{x + 1} = 2 \cdot 2^x = 2^{x + 1} }[/math] (to je jedina funkcija za koju to vrijedi).

Sada se nameće pitanje: postoji li eksponencijalna funkcija [math]\displaystyle{ f(x) = a^x }[/math] za koju vrijedi da za beskonačno mali prirast [math]\displaystyle{ dx }[/math] je prirast [math]\displaystyle{ dy }[/math] točno jednak [math]\displaystyle{ a^x. }[/math] Odgovor na ovo pitanje nije teško naći. Neka je [math]\displaystyle{ dx = h \rightarrow 0. }[/math]

Pitamo se za koji [math]\displaystyle{ a }[/math] je [math]\displaystyle{ \frac{a^{x + h} - a^x}{h} = a^x. }[/math] Računamo: [math]\displaystyle{ a^{x + h} - a^x = h \cdot a^x \iff a^{x + h} = a^x(h + 1), }[/math] odakle je [math]\displaystyle{ a^h = h + 1, }[/math] pa dobivamo poznati limes [math]\displaystyle{ a = (1 + h)^\frac{1}{h}. }[/math] Dokazuje se da je taj limes (kada [math]\displaystyle{ h \rightarrow 0 }[/math]) jednak [math]\displaystyle{ 2.718281... }[/math] i nazivamo ga Eulerovim brojem i označavamo s [math]\displaystyle{ e. }[/math]

Povezanost s kompleksnim brojevima

Gornji limes može se zapisati i kao [math]\displaystyle{ e = (1 + \frac{1}{n})^n), n \rightarrow \infty. }[/math] Poznato je da vrijedi [math]\displaystyle{ e^x = (1 + \frac{x}{n})^n, n \rightarrow \infty. }[/math]

Definicija imaginarnog eksponenta. Neka je [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R}. }[/math] Definiramo [math]\displaystyle{ e^{xi} = (1 + \frac{xi}{n})^n, \rightarrow \infty. }[/math] S drugačijim prikazom [math]\displaystyle{ e^x }[/math] dobiva se poznata Eulerova formula [math]\displaystyle{ e^{xi} = \cos{x} + i\sin{x}. }[/math] Ovdje ćemo na "originalnoj" definiji broja [math]\displaystyle{ e }[/math] pikazati zašto formula vrijedi.

Množenje kompleksnih brojeva [math]\displaystyle{ (a, b) \cdot (c, d) }[/math] svodi se na množenje njihovih modula i zbrajanja priklonih kuteva pa ako stavimo [math]\displaystyle{ (u + vi)^n, u, v \in \mathbb{R} }[/math] vidimo da dobivamo spiralu.

Objasnit ćemo Eulerov identitet, kada je [math]\displaystyle{ x = \pi. }[/math] Vratimo se na limes [math]\displaystyle{ e^{\pi \cdot i} = (1 + \frac{\pi}{n}i)^n. }[/math] Očito se radi o kompleksnom broju [math]\displaystyle{ 1 + \frac{\pi}{n}i }[/math] kojeg uzastopno množimo sa samim sobom, baš kao u prošlom primjeru. Kako [math]\displaystyle{ n \rightarrow \infty, }[/math] vidimo da se naš broj vertikalnk približava apscisi. Ako primotrimo luk jedinične kružnice sa središtem u ishodištu omeđen apscisom i pravcem [math]\displaystyle{ y = \frac{\pi}{n} }[/math] vidimo da je uvijek kraći od "visine" našeg kompleksnog broja. No, [math]\displaystyle{ n }[/math] se povećava pa se razlika smanjuje, tj. prikloni kut postaje [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{n} }[/math] radijana te se magnituda približava broju [math]\displaystyle{ 1. }[/math] Dakle, [math]\displaystyle{ (1 + \frac{\pi}{n})^n, n \rightarrow \infty }[/math] svodi se na potenciranje magnitude (koja teži u [math]\displaystyle{ 1 }[/math]) i n-terostrukog zbrajanja kuteva (koji približno iznose [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{n} }[/math] radijana) što nas po kružnoj putanji ([math]\displaystyle{ r \rightarrow 1 }[/math]) dovodi u točku [math]\displaystyle{ (- 1, 0). }[/math] To dokazuje, prema mnogima najljepšu "formulu" u matematici, [math]\displaystyle{ e^{\pi \cdot i} = - 1. }[/math]