Trokut
.svg)
Ovo je glavno značenje pojma Trokut. Za druga značenja pogledajte Trokut (razdvojba).Trokut je geometrijski lik koji ima 3 stranice, 3 kuta i 3 vrha.
Vrste
Trokuti se prema vrsti kutova dijele na: pravokutne, šiljastokutne i tupokutne.
- Pravokutan trokut ima jedan pravi kut.
- Šiljastokutan trokut ima sve kutove šiljaste.
- Tupokutan trokut ima jedan tupi kut.
Trokuti se dijele i prema vrstama stranica: raznostranični, jednakostranični te jednakokračni.
- Raznostraničan trokut je onaj trokut kome su sve stranice različitih duljina.
- Jednakostranični trokut je onaj kome su sve stranice istih dužina.
- Jednakokračni trokut je onaj kome su dvije stranice istih duljina, i te stranice se nazivaju krakovi, dok je treća stranica (osnovica) različite duljine od duljine kraka.
Svojstva
Opseg, tj. zbroj duljina svih stranica se stoga može računati na tri načina, koristeći se gore navedenim svojstvima:
- za jednakostranični trokut: 3a, gdje je a duljina stranice;
- za jednakokračni trokut: 2a + b, gdje je a duljina kraka, a b duljina osnovice;
- za raznostranični trokut: a + b + c, gdje su a, b i c duljine pojedinih stranica.
Nadalje se definiraju još dvije karakteristične dužine:
- visina trokuta je dužina čiji jedan kraj je jedan od vrhova trokuta, okomita je na pravac na kojem leži nasuprotna stranica i drugi kraj joj je na tom pravcu. Kažemo da je to visina
iz zadanog vrha, ili da je to visina koja leži nad stranicom na čiji pravac smjera je okomita. Ukoliko je unutarnji kut uz tu stranicu tup visina nema kraj na toj stranici nego na dijelu pravca koji je produljenje stranice van trokuta.
Površina
Površina P se tada računa kao:
- [math]\displaystyle{ P=\frac{a v_a}{2} }[/math]
gdje je a duljina stranice, a va duljina visine nad tom stranicom.
Površinu P tako možemo računati i po Heronovoj formuli (Heronov obrazac):
- [math]\displaystyle{ P=\sqrt{s \cdot (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ P=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ P=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ P=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ P=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}. }[/math]
gdje je s poluopseg trokuta; s = (a + b + c) / 2.
Za površinu trokuta P vrijede i formule:
- [math]\displaystyle{ P = s \cdot r }[/math]
- [math]\displaystyle{ P = \frac{abc}{4R} }[/math]
gdje je R duljina polumjera trokutu opisane kružnice, a r duljina polumjera trokutu upisane kružnice.
Površina pravokutnog trokuta
Površina pravokutnog trokuta se računa prema formuli:
[math]\displaystyle{ P=\frac{a\cdot b}{2} }[/math]
U ovoj formuli, a i b su katete pravokutnog trokuta, odnosno stranice trokuta koje zatvaraju pravi kut. Formula se izvodi iz činjenice da stranice pravokutnika s jednom dijagonalom pravokutnika čine pravokutan trokut, gdje su stranice pravokutnika katete pravokutnog trokuta, a dijagonala pravokutnika hipotenuza pravokutnog trokuta. Na taj način od jednog pravokutnika dobivamo dva sukladna pravokutna trokuta, pa je i površina dobivenog trokuta dva puta manja od površine pravokutnika, koja iznosi ab.
Kutovi
Svojstvo kutova trokuta je da se nasuprot većoj stranici nalazi veći kut, a nasuprot manjoj stranici se nalazi manji kut. Zahvaljujući tom svojstvu možemo zaključiti puno o trokutima. Npr., kod jednakostraničnog trokuta imamo i sve jednake kutove 60°, kod jednakokračnog trokuta imamo 2 jednaka i 1 različit kut, a kod raznostraničnog trokuta imamo tri različita kuta. Zbroj sva tri unutarnja kuta u trokutu uvijek iznosi α + β + γ = 180°. Zahvaljujući ovom svojstvu trokuta možemo riješiti neke zadatke, primjerice: Ako je: α=60°, β=80°, γ=? Primjećujemo da se u zadatku traži treći kut, tj. γ. Ovaj ćemo zadatak riješiti koristeći svojstvo kutova, pa ćemo dobiti: α + β + γ = 180°, iz čega uvrštavanjem proizlazi: 60° + 80° + γ = 180°. Dolazimo na rješavanje linearne jednadžbe,pa iz toga slijedi: γ = 180° - 60° - 80°, a odatle slijedi da je γ = 40°.
Zbroj sva tri vanjska kuta u trokutu uvijek iznosi α1 + β1 + γ1 = 360°. Prema pravilu zbroja kutova u trokutu vrijedi α1 = β + γ, β1 = α + γ, te γ1 = α + β.
Osobite (karakteristične) točke i pravci trokuta
Dva neparalelna pravca sijeku se u jednoj točki. Kad promatramo tri pravca onda se svaka dva sijeku u po jednoj točki, a vrlo je rijetko će te tri točke biti zapravo jedna te ista. Ako promatramo tri pravca na kojima leže visine, ili tri težišnice, ili tri simetrale kuta, ili tri simetrale stranica trokuta, može se pokazati da svaka od te četiri trojke pravaca/dužina ima jedno sjecište svih triju pravaca. Ta sjecišta su 4 osobite (karakteristične) točke trokuta. Ukoliko je trokut istostraničan te se 4 točke i međusobno podudaraju, a inače se sve 4 međusobno razlikuju.
Težišnica trokuta spaja vrh s polovištem nasuprotne stranice. Tri težišnice sijeku se u točki koja se naziva težište trokuta. Težište trokuta dijeli svaku težišnicu u omjeru 2:1, mjereći od vrha trokuta.[1] Težište trokuta u omjeru 2:1 dijeli i dužinu koja spaja ortocentar i središte trokutu opisane kružnice, mjereći od ortocentra.
Po teoremu o ortocentru, pravci na kojima leže tri visine trokuta sijeku se u jednoj točki (neki autori visinama zovu te pravce; kod tupokutnog trokuta ta točka nije na visinama shvaćenim kao dužinama nego na njihovim produžecima). Tu točku presjeka zovemo ortocentar.
Postoji jedinstvena kružnica koja (iznutra) dira sve tri stranice trokuta, trokutu upisana kružnica. Središte trokutu upisane kružnice sjecište je simetrala unutarnjih kutova trokuta. Simetrale dvaju vanjskih kutova pri dvama vrhovima i simetrala unutarnjega kuta pri trećem vrhu trokuta sijeku se u središtu trokutu pripisane kružnice, tj. središtu kružnice koja izvana dira jednu stranicu trokuta i produljenja po pravcu drugih dviju stranica. Dakle trokutu su pripisane tri pripisane kružnice.[1]
Postoji jedinstvena kružnica koja prolazi kroz sva tri vrha trokuta, trokutu opisana kružnica. Središte trokutu opisane kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta. Ako je trokut šiljastokutan, to središte se nalazi unutar trokuta, ako je trokut pravokutan, na polovištu hipotenuze, a ako je trokut tupokutan, nalazi se izvan trokuta.
Eulerov pravac je pravac na kojemu leže tri središta trokuta: težište, središte opisane kružnice i ortocentar. Jednoznačno je određen za svaki trokut osim jednakostraničnoga.[1] Središte trokutu upisane kružnice nikad ne leži na Eulerovom pravcu, osim ako je trokut jednakokračan ili jednakostraničan.[2]
Feuerbachova kružnica (kružnica 9 točaka) prolazi kroz nožišta visina, polovišta stranica i polovišta dužina vrh-ortocentar.
Symmedijana je pravac osnosimetričan na težišnicu s obzirom na simetralu odgovarajućeg kuta. Sve tri symmedijane sijeku se u Lemoinovoj točki.
Simsonov pravac
Ako se iz neke točke na trokutu opisanoj kružnici spuste visine na stranice, nožišta tih visina su kolinearna, za njih se kaže da leže na Simsonovom pravcu.
Sukladnost
Dva su podskupa ravnine sukladna ako postoji izometrija koja bijektivno preslikava jedan podskup na drugi. Karakterizacija (u nekim pristupima definicija) sukladnosti za slučaj dva trokuta je da su dva trokuta sukladna ako su im jednake odgovarajuće stranice, [math]\displaystyle{ a=a', b=b', c=c' }[/math], i istovremeno odgovarajući kutevi, [math]\displaystyle{ \alpha = \alpha',\beta = \beta', \gamma=\gamma' }[/math]. Osnovnom teorem o izometrijama ravnine govori da je svaka izometrija ravnine kompozicija najviše tri osne simetrije. Dakle, bilo koja dva sukladna trokuta se mogu preslikati jedan od drugog kompozicijom najviše tri osne simetrije. Alternativno, možemo jedan od vrhova premjestiti translacijom u vrh drugog trokuta koji mu po sukladnosti odgovara, namjestiti potom jednu od stranica iz tog vrha rotacijom oko tog drugog vrha i još jednom osnom simetrijom okrenuti trokut oko te stranice ako se trokut još uvijek razlikuje od traženog. Naime dva sukladna trokuta s zajedničkom stranicom su ili isti skup točaka ili se jedan od drugog dobije osnom simetrijom u odnosu na tu stranicu.
Sukladnost dvaju trokuta se često dokazuje poučcima o sukladnosti trokuta:
- S-S-S (stranica-stranica-stranica) Dva su trokuta sukladna ako su za ta dva trokuta jednake sve tri stranice.
- K-S-K (kut-stranica-kut) Dva su trokuta sukladna ako im je jednaka jedna stranica i njoj priležeći kutevi.
- S-K-S (stranica-kut-stranica) Dva su trokuta sukladna ako su im jednake dvije stranice i kut između njih.
- S-S-K (stranica-stranica-kut) Dva su trokuta sukladna ako su im jednake dvije stranice i kut nasuprot većoj stranici.
Sličnost
Dva ili više trokuta mogu biti slični. Slični trokuti imaju jednake kutove te im se sve stranice odnose u istom omjeru:
[math]\displaystyle{ a_1 : a'_1 = a_2 : a'_2 = a_3 : a'_3 = k }[/math]
Površine im se odnose kao:
[math]\displaystyle{ P : P ' = k^2 }[/math]
Ako su dva trokuta slična, tada se iz jednoga translacijom, rotacijom, refleksijom i skaliranjem može dobiti drugi.
Poučci o sličnosti trokuta
Sličnost se dokazuje poučcima o sličnosti:
- S-S-S, tj. stranica — stranica — stranica. Prema tom poučku, trokuti su slični ako im se sve odgovarajuće stranice odnose u istom omjeru.
- S-K-S, tj. stranica — kut — stranica. Prema tom poučku, trokuti su slični ako im se jedan par odgovarajućih stranica odnosi u istom omjeru, te im je kut između tih stranica jednak.
- K-K, tj. kut — kut. Prema tom poučku, trokuti su slični ako imaju jedan par jednakih kutova.
Vidi još
Izvori
- ↑ 1,0 1,1 1,2 "Trokut". Hrvatska enciklopedija. Leksikografski zavod Miroslav Krleža. http://www.enciklopedija.hr/natuknica.aspx?ID=62433 Pristupljeno 31. srpnja 2016.
- ↑ "Triangles have a Magic Highway - Numberphile" (engl.). YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=wVH4MS6v23U