Dužina
Dužina je dio pravca omeđen dvjema različitim točkama. Ona sadrži krajnje točke i sve točke pravca na kojem se nalazi, a koje su između krajnjih točaka. Može se definirati i kao presjek dvaju polupravaca koji pripadaju istom pravcu, a da sama nije polupravac. Dužina je najkraća crta koja spaja njezine krajnje točke.
Dužina je jednoznačno određena:
- dvjema točkama, krajnjim točkama dužine, ili
- jednom točkom i vektorom čiji smjer, orijentacija i intenzitet određuju drugu točku dužine.
Dužina se označava navodeći njezine krajnje točke s potezom iznad njih, npr. AB.
Aritmetika s dužinama
Stari Grci bili su vješti u baratanju s dužinama. Tako su znali odrediti zbroj, razliku, umnožak i količnik dužina.
Zbroj i razlika dužina. Problem zbrajanje i oduzimanja dužina rješava se šestarom, nanošenjem jedne dužine do druge kod zbrajanja, tj. jedne na drugu kod oduzimanja
Umnožak i količnik dužina. Ovaj se postupak provodi koristeći Talesov teorem o proporcionalnosti. Neka imamo 3 tri dužine, [math]\displaystyle{ a, b, c : |c| = 1. }[/math] Odredimo kut određen polupravcima [math]\displaystyle{ p, q: k(p, q). }[/math] Nanesimo šestarom dužinu [math]\displaystyle{ c + a = 1 + a }[/math] na polupravac [math]\displaystyle{ p }[/math] (tako da dodiruje vrh kuta) te na isti način dužinu [math]\displaystyle{ b }[/math] na polupravac [math]\displaystyle{ q. }[/math] Povucimo pravac [math]\displaystyle{ l }[/math] kroz krajnje točke [math]\displaystyle{ B, C }[/math] (prema van, tj. [math]\displaystyle{ B \neq C }[/math]) dužina [math]\displaystyle{ c, b }[/math] i povucimo pravac [math]\displaystyle{ m }[/math] paralelan s njim kroz krajnju točku [math]\displaystyle{ A }[/math] dužine [math]\displaystyle{ a + 1 }[/math] ([math]\displaystyle{ A \neq C }[/math]). Neka je [math]\displaystyle{ D = m \cap q. }[/math] Duljina dužine [math]\displaystyle{ \overline{BD} }[/math] jednaka je [math]\displaystyle{ ab. }[/math] Ta se duljina naziva i četvrta geometrijska proporcionala. Analogno se provodi dijeljenje.[1]
Duljina dužine
Duljina dužine označava razmak između njenih krajnjih točaka. Duljina dužine AB označava se s |AB|. U dvodimenzionalnom euklidskom prostoru duljina dužine AB, gdje je A = (Ax, Ay) i B = (Bx, By), izračunava se prema formuli:
[math]\displaystyle{ \left | AB \right | = \sqrt{ \left ( B_x - A_x \right )^2 + \left ( B_y - A_y \right )^2 } }[/math]
Izvori
- ↑ Branimir Dakić, Neven Elezović, Matematika 1, udžbenik za gimnazije i tehničke škole, Element, Zagreb, 2014.