Tepih Sierpińskog
Tepih Sierpińskog je fraktal kojeg je opisao poljski matematičar Wacław Franciszek Sierpiński 1916. godine. Vrlo je sličan istoimenom trokutu, ali ima veću fraktalnu dimenziju, [math]\displaystyle{ \frac{\log 8}{\log3} \approx 1.8928 }[/math].
Konstrukcija
Počinje se od kvadrata (nulta iteracija) koji se podijeli u 9 sukladnih kvadrata (duljine stranice 1/3 početnog). Srednji se kvadrad oduzme (prva iteracija), a postupak se ponavlja s preostalih 8. Tepih Sierpińskog nastaje nakon beskonačnog broja iteracija.
nulta iteracija
prva iteracija
druga iteracija
treća iteracija
četvrta iteracija
peta iteracija
Kao sustav iteriranih funkcija (IFS)
Tepih Sierpińskog može se dobiti i primjenjujući ove transformacije:
| vjerojatnost | transformacije | objašnjenje |
|---|---|---|
| [math]\displaystyle{ \frac{1}{8} }[/math] | [math]\displaystyle{ x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n }[/math] [math]\displaystyle{ y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n }[/math] |
kvadrat dolje lijevo |
| [math]\displaystyle{ \frac{1}{8} }[/math] | [math]\displaystyle{ x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n + \frac{1}{3} }[/math] [math]\displaystyle{ y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n }[/math] |
kvadrat dolje u sredini |
| [math]\displaystyle{ \frac{1}{8} }[/math] | [math]\displaystyle{ x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n + \frac{2}{3} }[/math] [math]\displaystyle{ y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n }[/math] |
kvadrat dolje desno |
| [math]\displaystyle{ \frac{1}{8} }[/math] | [math]\displaystyle{ x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n }[/math] [math]\displaystyle{ y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n + \frac{1}{3} }[/math] |
kvadrat u sredini lijevo |
| [math]\displaystyle{ \frac{1}{8} }[/math] | [math]\displaystyle{ x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n + \frac{2}{3} }[/math] [math]\displaystyle{ y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n + \frac{1}{3} }[/math] |
kvadrat u sredini desno |
| [math]\displaystyle{ \frac{1}{8} }[/math] | [math]\displaystyle{ x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n }[/math] [math]\displaystyle{ y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n + \frac{2}{3} }[/math] |
kvadrat gore lijevo |
| [math]\displaystyle{ \frac{1}{8} }[/math] | [math]\displaystyle{ x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n + \frac{1}{3} }[/math] [math]\displaystyle{ y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n + \frac{2}{3} }[/math] |
kvadrat gore u sredini |
| [math]\displaystyle{ \frac{1}{8} }[/math] | [math]\displaystyle{ x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n + \frac{2}{3} }[/math] [math]\displaystyle{ y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n + \frac{2}{3} }[/math] |
kvadrat gore desno |
Mengerova spužva
Podrobniji članak o temi: Mengerova spužvaTrodimenzionalni analogon tepihu Sierpińskog naziva se Mengerova spužva. Dobiva se jednostavnom analogijom gdje se umjesto kvadrata uzimaju kocke. No, ne oduzima se samo središnja od 27 kocaka prve iteracije, nego i još 6 kocaka u središtima strana početne kocke.
