T-ravnalo (fraktal)
.png)
T-ravnalo je fraktal fraktalne dimenzije 2, a topološke 1. Ime je dobio po crtaćem priboru.
Konstrukcija
Počnimo od kvadrata (zvat ćemo ga graničnim kvadratom), bijele boje na slici ispod, i od njega oduzmimo kvadrat upola kraće stranice smješten u sredinu graničnog kvadrata, crne boje (prva iteracija). Granični kvadrat podijelimo na četiri jednaka kvadrata i ponovimo postupak (druga iteracija). Svaki od ta četiri kvadrata podijelimo na još četiri itd. T-ravnalom zovemo granicu crne i bijele površine.
.png)
Svojstva
T-ravnalo je beskonačno duga krivulja, ali ona okružuje konačnu površinu. Duljina krivulje nakon prve iteracije jest 4, ako uzmemo da granični kvadrat (vidi iznad) ima dimenzije 2 × 2, a površina 1. Nakon prve iteracije od prvog kvadrata ostaju 4 dužine duljine po [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] te se dodaju još 4 kvadrata s dvije stranice duljine [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] i dvije duljine [math]\displaystyle{ \frac{1}{4} }[/math], pa je to [math]\displaystyle{ 2 + 6 = 8 }[/math]. Površina se poveća za [math]\displaystyle{ \frac{3}{4} }[/math] (četiri dodatna kvadrata površine [math]\displaystyle{ \frac{1}{4} }[/math], ali bez svoje jedne četvrtine). Nakon druge iteracije, duljina krivulje jest 2 od prvog kvadrata, 3 od kvadratâ iz prve iteracije (od svakog od četiri kvadrata ostaje [math]\displaystyle{ \frac{3}{4} }[/math]) te 9 od novih kvadrata (duljina granice svakog od 12 kvadrata jest [math]\displaystyle{ \frac{3}{4} }[/math]), dakle [math]\displaystyle{ 2 + 3 + 9 = 14 }[/math]. Površina se povećava za [math]\displaystyle{ \frac{9}{16} }[/math] (svaki od 12 kvadrata ima površinu [math]\displaystyle{ \frac{3}{64} }[/math]). Prema tome, nakon beskonačnog broja iteracija, duljina krivulje je beskonačna, a površina, prema formuli za sumu geometrijskog reda, četiri puta veća od prvog kvadrata, odnosno jednaka površini graničnog kvadrata:
- [math]\displaystyle{ 1 + \frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \cdots = \frac{1}{1-\frac{3}{4}} = 4 }[/math].