Racionalni broj

Racionalni broj (lat. ratio - omjer, razmjer) je broj nastao dijeljenjem cijelog broja sa prirodnim brojem, npr. 1:2, 1:3, 555:333. Skup racionalnih brojeva [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] uveden je zato što operacija dijeljenja nije uvijek moguća na skupu cijelih brojeva [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math].

Mogući zapisi

Racionalni broj se može napisati u obliku razlomka [math]\displaystyle{ \frac{x}{y} }[/math] gdje je [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{Z}, y \in \mathbb{N}. }[/math] x se naziva brojnik, a y nazivnik. Neki primjeri takvog zapisa su:

[math]\displaystyle{ \frac{2}{7}, \frac{6}{1}, \frac{0}{3}, \frac{-2}{4}, \frac{5}{5}. }[/math]

Drugi mogući zapis racionalnog broja je u obliku decimalnog broja. Postoje tri vrste zapisa:

Konačni decimalni broj:

[math]\displaystyle{ \frac{9}{20} = 9:20 = 0,45 }[/math]

zapis koji se pojavljuje kad se u nazivniku kao jedini prim faktori javljaju brojevi 2 i 5.

Periodični decimalni broj:

[math]\displaystyle{ \frac{4}{21} = 4:21 = 0,\dot{1}9047\dot{6} }[/math]

zapis koji se pojavljuje kada se niti broj 2 niti broj 5 ne javljaju kao prim faktori nazivnika, interval znamenki od prve do druge točke se ponavlja (tzv. period) do beskonačnog broja znamenki iza decimalnog zareza.

Mješoviti decimalni broj:

[math]\displaystyle{ \frac{7}{12} = 7:12 = 0,58\dot{3} }[/math]

zapis koji se pojavljuje kad nazivnik sadrži i prim faktore 2 ili 5 i neke druge prim faktore, znamenka nad kojom je točka se ponavlja do beskonačnog broja znamenki iza decimalnog zareza.

Osnovne operacije s razlomcima

Razlomci istih nazivnika se zbrajaju tako da se zbroje brojnici, dok je nazivnik rezultata jednak nazivniku razlomaka:

[math]\displaystyle{ \frac{5}{7} + \frac{1}{7} = \frac{5 + 1}{7} = \frac{6}{7} }[/math]

Razlomci različitih nazivnika se zbrajaju tako da ih svedemo na najmanji zajednički nazivnik i onda ih zbrojimo:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12} }[/math]

Umnožak dvaju razlomaka jednak je razlomku čiji je brojnik jednak umnošku brojnika, a nazivnik jednak umnošku nazivnika razlomaka koje množimo:

[math]\displaystyle{ \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{15} }[/math]

Razlomak se dijeli razlomkom tako da se djeljenik pomnoži recipročnom vrijednošću djelitelja:

[math]\displaystyle{ \frac{2}{5} : \frac{1}{3} = \frac{6}{5} }[/math]

Uređaj u skupu racionalnih brojeva

Dva racionalna broja [math]\displaystyle{ \frac{a}{b} }[/math] i [math]\displaystyle{ \frac{c}{d} }[/math] jednaka su ako je [math]\displaystyle{ ad = bc }[/math]. Razlomci istih nazivnika se uspoređuju tako da se usporede njihovi brojnici. Veći je onaj razlomak čiji je brojnik veći, i obratno, manji je onaj razlomak koji ima manji brojnik. Ako su nazivnici različiti prethodno se razlomci svode na zajednički nazivnik, pa se onda uspoređuju.

Djeljivost

Ako su a, b, c brojevi iz skupa cijelih brojeva [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] a je djeljiv s b ako postoji cijeli broj c takav da je a = b × c. Tu činjenicu upotrebljavamo kod "skraćivanja" razlomaka, naime, ako se razlomak [math]\displaystyle{ \frac{a}{b} }[/math] može napisati kao [math]\displaystyle{ \frac{xk}{yk} }[/math] gdje je [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math] tada su razlomci [math]\displaystyle{ \frac{a}{b} }[/math] i [math]\displaystyle{ \frac{x}{y} }[/math] jednaki.

Ostalo

Skup racionalnih brojeva [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] skup je svih klasa ekvivalencije na skupu [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] x [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math], odnosno izomorfan je skupu [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] = {m/n : m [math]\displaystyle{ \in\mathbb{Z} }[/math], n [math]\displaystyle{ \in\mathbb{N} }[/math]}.

Dok su skupovi prirodnih [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] i cijelih [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] brojeva diskretni, tj. sastoje se od izoliranih točaka, skup racionalnih brojeva [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] je gust, jer se između svaka dva različita racionalna broja nalazi još beskonačno mnogo racionalnih brojeva.

Skup [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] je prebrojiv, tj. ekvipotentan skupu prirodnih brojeva [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]. To znači da između skupa prirodnih i racionalnih brojeva postoji bijekcija, odnosno da ta dva skupa imaju jednak, beskonačan, broj elemenata. Za razliku, skup realnih brojeva [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] nije prebrojiv skup.

Skup racionalnih brojeva je polje.

Izvori

Nedovršeni članak Racionalni broj koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima uređivanja Hrvatske internetske enciklopedije.