Polje (matematika)

U apstraktnoj algebri, polje je algebarska struktura u kojoj se mogu izvoditi operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja (osim dijeljenja s nulom), i gdje vrijede poznata pravila iz aritmetike običnih brojeva.

Sva polja su prsteni, ali ne i obratno. Polja se razlikuju od prstena po tome što se traži da je dijeljenje moguće, a u današnje vrijeme, također i po tome da operacija množenja u polju bude komutativna. Inače je struktura tzv. prsten s dijeljenjem, iako su se povijesno prsteni s dijeljenjem nazivali polja, a polja su bila komutativna polja.

Osnovni primjer polja je [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math], polje racionalnih brojeva. Ostali važni primjeri uključuju polje realnih brojeva [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], polje kompleksnih brojeva [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] i, za bilo koji prost broj p, konačno polje cijelih brojeva modulo p, oznaka [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} }[/math]. Za bilo koje polje K, skup K(X), tj. skup racionalnih funkcija s koeficijentima iz K je također polje.

Matematička disciplina koja se bavi proučavanjem polja se naziva teorija polja.

Ekvivalentne definicije

Definicija 1

Polje je komutativan prsten s dijeljenjem.

Definicija 2

Polje je komutativni prsten ([math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], +, *) takav da je 0 različito od 1 i da svi elementi od [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] osim nule imaju inverz za množenje. (Važno je primijetiti da 0 i 1 ovdje redom označavaju neutralne elemente za operacije + i *, te se mogu razlikovati od poznatih realnih brojeva 0 i 1).

Definicija 3

Eksplicitno, polje je definirano sljedećim svojstvima:

Zatvorenost od [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] za + i *: [math]\displaystyle{ \forall a, b \in \mathbb{F} }[/math], [math]\displaystyle{ a + b \in \mathbb{F} }[/math] i [math]\displaystyle{ a * b \in \mathbb{F} }[/math] (ili formalnije, + i * su binarne operacije na F).
+ i * su asocijativne operacije: [math]\displaystyle{ \forall a, b, c \in \mathbb{F} }[/math], [math]\displaystyle{ a + (b + c) = (a + b) + c }[/math] i [math]\displaystyle{ a * (b * c) = (a * b) * c }[/math].
+ i * su komutativne operacije: [math]\displaystyle{ \forall a, b \in \mathbb{F} }[/math], [math]\displaystyle{ a + b = b + a }[/math] i [math]\displaystyle{ a * b = b * a }[/math].
Vrijedi distributivnost operacije * prema +: [math]\displaystyle{ \forall a, b, c \in \mathbb{F} }[/math], [math]\displaystyle{ a * (b + c) = (a * b) + (a * c) }[/math].
Postojanje neutralnog elementa za zbrajanje: [math]\displaystyle{ \exists 0 \in \mathbb{F} }[/math] takav da je [math]\displaystyle{ \forall a \in \mathbb{F} }[/math], [math]\displaystyle{ a + 0 = 0 + a = a }[/math].
Postojanje neutralnog elementa za množenje: [math]\displaystyle{ \exists 1 \in \mathbb{F} }[/math] takav da je [math]\displaystyle{ \forall a \in \mathbb{F} }[/math], [math]\displaystyle{ a * 1 = 1 * a = a }[/math].
Postojanje inverza za zbrajanje: [math]\displaystyle{ \forall a \in \mathbb{F} }[/math][math]\displaystyle{ \exists -a \in \mathbb{F} }[/math], takav da je [math]\displaystyle{ a + (-a) = -a + a = 0 }[/math].
Postojanje inverza za množenje: [math]\displaystyle{ \forall a \in \mathbb{F}, a \neq 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \exists a^{-1} \in \mathbb{F} }[/math], takav da je [math]\displaystyle{ a * a^{-1} = a^{-1} * a = 1 }[/math].

Uvjet da je 0 ≠ 1 osigurava da skup koji sadrži samo jedan element nije polje. Izravno iz aksioma se može pokazati da su ([math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], +) i ([math]\displaystyle{ \mathbb{F}\setminus \{0\} }[/math], *) komutativne grupe (Abelove grupe), i tada su aditivni inverz −a i multiplikativni inverz a⁻¹ jedinstveno određeni sa a. Ostala korisna pravila uključuju:

−a = (−1) * a

i općenitije

−(a * b) = (−a) * b = a * (−b),

kao i

a * 0 = 0.

Primjeri

Kompleksni brojevi [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math], s uobičajenim operacijama zbrajanja i množenja. Polje kompleksnih brojeva sadrži sljedeća potpolja:
Racionalni brojevi [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} = \{ \frac{a}{b} }[/math] | [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}\} }[/math], gdje je [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] skup cijelih brojeva, a [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] skup prirodnih brojeva. Polje racionalnih brojeva nema pravih potpolja.