Kvadratna jednadžba

Kvadratna jednadžba je jednadžba u kojoj se nepoznata veličina pojavljuje pod znakom potencije 2, dakle jednadžba općenitog oblika

$ax^{2}+bx+c=0\,$

koja je poseban slučaj polinoma n-tog reda gdje je n = 2.

Kvadratna jednadžba za $b=0$

Može se prikazati u obliku:

$ax^{2}+c=0\,$

iz čega slijedi da je

$x^{2}=-{\frac {c}{a}}\,$

Ako je jedan od članova negativan, jednadžba će imati dva realna rješenja (dva realna korijena)

$x_{1}=+{\sqrt {\frac {c}{a}}},x_{2}=-{\sqrt {\frac {c}{a}}}\,$,

a ako su oba člana negativna ili pozitivna jednadžba će imati dva imaginarna rješenja

$x_{1}=+i{\sqrt {\frac {c}{a}}},x_{2}=-i{\sqrt {\frac {c}{a}}}\,$.

Ovakav se tip kvadratne jednadžbe u mnogim udžbenicima zove čista kvadratna jednadžba.

Kvadratna jednadžba za $c=0$

Može se prikazati u obliku

$ax^{2}+bx=0\,$

što se može prikazati i kao

$x(ax+b)=0\,$.

Rješenja ove jednadžbe bit će očito

$x_{1}=0,x_{2}=-{\frac {b}{a}}\,$,

gdje ovakav oblik kvadratne jednadžbe ima uvijek realna rješenja.

Ova jednadžba nerijetko se naziva prikraćena kvadratna jednadžba.

Kvadratna jednadžba sa svim članovima

Kvadratna jednadžba oblika

$ax^{2}+bx+c=0\,$

može se jednostavno riješiti ako se kvadratna jednadžba može prikazati kao produkt dva binomna faktora. Na primjer, odmah je vidljivo da se jednadžba

$x^{2}+x-12=0\,$

može prikazati i kao

$(x-3)(x+4)=0\,$

gdje je očito da će rješenja jednadžbe biti

$x_{1}=3,x_{2}=-4\,$

jer upravo za te vrijednosti nezavisne varijable vrijednost funkcije će biti jednaka nuli. Kvadratna jednadžba se, međutim, pojavljuje u tako povoljnim oblicima razmjerno rijetko te najčešće valja poznavati općenito rješenje kvadratne jednadžbe.

Općenito rješenje kvadratne jednadžbe

Kvadratna jednadžba oblika

$ax^{2}+bx+c=0\,$

može se transformirati redom kako slijedi

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0\,$

$(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}=0\,$

$(x+{\frac {b}{2a}})^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\,$

$(x+{\frac {b}{2a}})^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\,$

$x_{1,2}+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$

$x_{1,2}=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,$

gdje posljednja jednakost daje eksplicitna rješenja kvadratne jednadžbe. Izraz

$b^{2}-4ac\,$

naziva se diskriminanta kvadratne jednadžbe te se kvadratnu jednadžba može prikazati i u sljedećem obliku

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}.\,$

Diskriminanta i rješenja kvadratne jednadžbe

Prikaz diskriminante kvadratne jednadžbe

Kvadratna jednadžba samo je jedan poseban slučaj kvadratne funkcije:

$y=ax^{2}+bx+c\,$

gdje je ona za rješenja kvadratne jednadžbe $x_{1}$ i $x_{2}$ jednaka nuli. Postojanje rješenja je neposredno uvjetovano tijekom i svojstvima kvadratne funkcije. Ako je diskriminanta D > 0 (slika desno, D =$\bigtriangleup$, krivulja obojena u plavo) tada će kvadratna jednadžba imati dva realna rješenja, ako je diskriminanta D = 0, kvadratna jednadžba će imati jedno, dvostruko rješenje (crvena krivulja), a ako je diskriminanta D < 0 tada jednadžba nema realnih već ima dva konjugirano-kompleksna rješenja (žuta krivulja).

Rješenja kvadratne jednadžbe imaju i neka posebna svojstva data Vieteovim poučkom koji ustanovljava sljedeću povezanost s koeficijentima jednadžbe a, b i c:

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$

$x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$.

Kvadratna funkcija i kvadratna jednadžba

Kvadratna se jednadžba može shvatiti i kao poseban slučaj kvadratne funkcije y = f(x) za vrijednost funkcije y = 0, gdje tada rješenja kvadratne jednadžbe predstavljaju nultočke kvadratne funkcije. Parabola je u tom slučaju krivulja koja predstavlja graf kvadratne funkcije, a razlikuju se tri slučaja:

• Ako postoje dva različita sjecišta grafa funkcije s apscisom, odn. x-osi koordinatnog sustava, kvadratna jednadžba će imati dva različita i realna rješenja.

• Ako je apscisa, odn. x-os tangenta grafa kvadratne funkcije te prolazi kroz tjeme parabole, kvadratna jednadžba će imati jedno dvostruko i realno rješenje.

• Ako graf kvadratne funkcije nigdje ne presijeca apscisu, odn. x-os, tada kvadratna jednadžba nema realna, već ima dva konjugirano-kompleksna rješenja.

Kvadratna jednadžba s cjelobrojnim rješenjima

Kvadratna jednadžba $x^{2}+bx+c=0$ imat će cjelobrojna rješenja $x_{1},x_{2}$ ako i samo ako se $b,c$ mogu zapisati u "mn-obliku", odnosno u obliku $b=x_{1}+x_{2}=m,c=x_{1}x_{2}=n$, gdje su $m,n$ očito cijeli brojevi. (1)

Naime, gornja se jednadžba može zapisati u obliku $(x-x_{1})(x-x_{2})$. Sada lagano slijedi $x^{2}+(-x_{1}-x_{2})x+x_{1}x_{2}=0$, a očito je $(-x_{1})(-x_{2})=x_{1}x_{2}$, što je i trebalo pokazati.

Primjeri

Ovo svojstvo se često koristi pri osnovnim matematičkim zadacima natjecateljskog tipa.

Na primjer, treba riješiti jednadžbu $x^{2}-2022x+2021=0$. Korištenjem kvadratne formule, postupak rješavanja nepotrebno bi bio kompliciran.

Treba uočiti da je ta jednadžba ekvivalentna s $x^{2}-2021x-x+2021=0$.

Sada grupiramo faktore na povoljan način i faktoriziramo: $x(x-1)-2021(x-1)=0$, tj. $(x-1)(x-2021)=0$, odakle slijedi da su rješenja $x_{1}=1,x_{2}=2021$.

Zanimljivosti

Jedina kvadratna jednadžba oblika $x^{2}\pm ax+a,a\in \mathbb {Z} ,a\neq 0$ s cjelobrojnim rješenjima je kvadratna jednadžba $x^{2}\pm 4x+4=(x\pm 2)^{2}$.

Razlog je tomu što su $2,-2$ jedini brojevi (i broj nula, ali mora biti $a\neq 0$) za koje je $(\pm \alpha )\cdot (\pm \alpha )=\alpha +\alpha ,\alpha \in \mathbb {Z}$, tj. $2\cdot 2=(-2)(-2)=2+2$, pa prema (1) slijedi da nema drugih mogućnosti.

Primjena

U fizikalnim sustavima brojne veličine ovise o kvadratu drugih veličina te se kvadratna jednadžba često nalazi i u vrlo praktičnoj primjeni. Na primjer:

• centrifugalna sila razmjerna je kvadratu obodne brzine
• električna snaga na električnom otporniku razmjerna je kvadratu električnog napona na njegovim priključcima,
• jednoliko ubrzanom gibanju prijeđeni put je razmjeran kvadratu vremena

Literatura

• Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.