Kubna jednadžba

Pod kubnom jednadžbom podrazumijeva se jednadžba oblika

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\qquad (1)}

gdje je a različit od nule. U nastavi matematike u srednjoj školi obično se smatra da su koeficijenti a, b, c i d realni brojevi. Općenito, to mogu biti elementi bilo kojeg polja.

Rješenja kubne jednadžbe

Rješenje kubne jednadžbe, odnosno korijen pripadnog polinoma trećeg stupnja

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\qquad (2)}

jest svaki broj x₀ za kojeg vrijedi Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle ax_{0}^{3}+bx_{0}^{2}+cx_{0}+d=0.} Za jednažbu s koeficijentima u nekom polju k rješenja se razmatraju u fiksiranom algebarski zatvorenom polju koje sadrži k (ona su uvijek u konačnom proširenju od k stupnja najviše 6 ). Kubna jednadžba općenito ima tri rješenja (brojeći kratnosti): dakle, mogu biti tri različita rješenja, dva rješenja od kojih je jedno dvostruko ili jedno trostruko rješenje. Ako su koeficijenti realni brojevi onda uvijek ima bar jedno realno rješenje, ali može se dogoditi da preostala dva budu kompleksna. Preciznije, mogu biti tri različita realna, dva različita realna od kojih je jedno dvostruko, jedno realno trostruko ili jedno realno i dva kompleksno-konjugirana rješenja, analogno nultočkama kubne funkcije.

Vieteove formule

Rješenja $x_{1},x_{2},x_{3}$ jednadžbe (1) zadovoljavaju sljedeće relacije koje su posebni slučaj Vieteovih formula

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\ x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}={\frac {c}{a}},\ x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}.}

Diskriminanta kubne jednadžbe

Često se diskriminantom kubne jednadžbe naziva diskriminanta

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \Delta =a^{4}(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}(x_{3}-x_{1})^{2}\qquad (3)}

pripadnog polinoma (2), gdje su $x_{1},x_{2},x_{3}$ korijeni polinoma (rješenja jednadžbe (1)). Vrijedi ,

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \Delta =-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}+18abcd-27a^{2}d^{2}.\qquad (4),}

Ovo vrijedi za sve kubne jednadžbe, a ne samo za one s realnim koeficijentima.

Osobine rješenja jednadžbe

Za kubne jednadžbe s realnim koeficijentima, karakter rješenja ovisi o predznaku diskriminante. Iz (3) slijedi:

• ako je Δ < 0, onda jednadžba ima jedno realno i dva kompleksna rješenja
• ako je Δ > 0, onda jednadžba ima tri različita realna rješenja
• ako je Δ = 0, onda jednadžba ima tri realna rješenja, od kojih su barem dva međusobno jednaka (dvostruko ili trostruko rješenje).

Tako nešto općenito nema smisla za jednadžbe s kompleksnim koeficijentima.

Cardanova formula

Kubna jednadžba rješiva je u radikalima. To vrijedi za jednadžbu s koeficijentima u bilo kojem polju (uz uvjet da mu je karakteristika različita od 2 i od 3). Tada se jednadžba pogodnom linearnom zamjenom može svesti na jednostavniji oblik Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x^{3}+px+q=0.} Rješenja te jednadžbe mogu se zapisati tzv. Cardanovom formulom

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=u+v=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}} +\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}},}}

iz koje se razaznaje da se rješenja mogu predočiti u zavisnosti od koeficijenata koristeći se osnovnim računskim operacijama i drugim i trećim korijenima. Nazivnici zorno pokazuju da formula nema smisla ako je karakteristika polja 2 ili 3. Općenito, a napose unutar kompleksnih brojeva, drugi korijen ima dvije vrijednosti, a treći tri (samo za realne brojeve, prema dogovoru, korjenovanje je jednoznačna operacija). Zato svaki od pribrojnika u formuli ima općenito šest vrijednosti. Ako se za drugi korijen izabere jedna od dviju vrijednosti (što je dopustivo jer su u pribrojnicima pred njima različiti predznaci, a ispod drugih korijena nema razlike), onda svaki od pribrojnika općenito ima po tri vrijednosti, pa bi zbroj općenito imao devet vrijednosti. Zato ovu formulu treba protumačiti tako da ona daje tri vrijednosti (računajući kratnosti u posebnim slučajevima) To se postiže tako da se za svaku od triju vrijednosti za u za vrijednost od v uzme Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\frac{p}{3u}} , tja da bude zadovoljen uvjet Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle uv=-\frac{p}{3}} . Na primjer, za jednadžbu Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^3-3x=0} , lako se vidi da su rješenja brojevi Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0,-\sqrt{3}, \sqrt{3}} , dok Cardanova formula daje Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=u+v=\sqrt[3]{\sqrt{-1}}+ \sqrt[3]{-\sqrt{-1}}=\sqrt[3]{i}+ \sqrt[3]{-i}} (nakon što se za drugi korijen iz -1 izabere jedna vrijednost: imaginarna jedinica i). Pribrojnik u sad ima vrijednosti redom Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i, -i} dok su pripadne vrijednosti od Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v=1/u=\bar u} (kompleksno konjugiranje), jednake redom Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i,-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i, i} , a vrijednosti zbroja u+v redom Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{3},-\sqrt{3},0} , što i jesu rješenja zadane jednadžbe.

Ako je karakteristika polja 2 ili 3 onda ne samo da ne vrijede Cardanove formule, već kubna jednadžba općenito nije rješiva u radikalima. Na primjer, nad poljem od 2 elementa, 0 i 1 sa zbrajanjem i množenjem modulo 2, jednadžba Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^3+1=0} nije rješiva u radikalima. Naime, uz očito rješenje x=1, preostala dva su rješenje kvadratne jednadžbe Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2+x+1=0} koja nije rješiva u radikalima. Slično, jednadžba . Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^3+2x+1=0} nad poljem s elementima 0,1,2 uz zbrajanje i množenje modulo 3, nema rješenja u tom polju, pa su sva tri rješenja u jedinstvenom proširenju stupnja 3 (koje nije radikalno jer je kubiranje bijekcija na početnom polju).

Nesvodivi slučaj (Casus irreducibilis)

Slučaj kod kubnih jednadžba s realnim koeficijentima kad su sva tri rješenja realna (i različita). Tada se u Cardanovoj formuli nužno pojavljuju pravi kompleksni brojevi (jer nužno dolazi do drugog korijena iz negativnog broja). To je u 16. st. doživljeno kao paradoks jer da bi se došlo do realnog broja, nužno je najprije izaći iz realnog područja u kompleksno (za razliku od jednog realnog i dvaju kompleksno-konjugiranih, kad se ono realno rješenje dobije korištenjem samo realnih brojeva). To je bio jedan od glavnih razloga za uvođenje kompleksnih brojeva . Primjer Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^3-3x=0} razmatran u cjelini Cardanova formula zorno pokazuje navodni paradoks. S jedne strane, rješenja su realna i lako se dobiju izravno, s druge, ako se primijeni Cardanova formula, treba računati s tri treća korijena iz imaginarne jedinice i.

Općenita rješenja

Općenito rješenje za svaku kubnu jednadžbu

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a x^3 + b x^2 + c x + d =\, 0}

određeno je kako slijedi:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} x_1 = &-\frac{b}{3 a}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_2 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ x_3 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}} \end{align}}

Ove formule vrijede za jednadžbe s realnim koeficijentima s diskriminantom većom ili jednakoj nuli (tj. ako izraz ispod drugog korijena nije negativan), uz dogovor da su i drugi i treći korijeni standardni korijeni na realnim brojevima. Općenito, napose ako je diskriminanta negativna, potrebna je posebna interpretacija:

• za drugi korijen izabere se jedan od dvaju kompleksnih drugih korijena i koristi se u svim izrazima
• u formuli za Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1} treći korijeni izaberu se tako da umnožak vrijednosti tih trećih korijena bude Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b^2-3a^2c}
• u formulama za preostala dva rješenja na odgovarajućim mjestima primijene se oni treći korijeni koji su izabrani kod prvog rješenja.

Uz gornji dogovor te formule vrijede i za jednadžbe s kompleksnim koeficijentima kao i za jednadžbe s koeficijentima u bilo kojem polju karakteristike različite od 2 i od 3.

Primjena kubne jednadžbe

Kubna jednadžba ima važne primjene u matematici. Na primjer, dva dugo neriješena klasična problema matematike, udvostručenje kocke i trisekcija kuta, svode se na rješavanje kubnih jednadžba, prvi na Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^3-2=0} , a drugi na Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4x^3-3x-\cos\alpha=0} . Izvan matematike, jedna važna primjena je kod van der Waalsove jednadžbe Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (p+\frac{a}{V^2})(V-b)=RT} , gdje je p tlak, V molni obujam, T temperatura plina, R plinska konstanta, a,b parametri ovisni o vrsti plina. Ona se može napisati kao kubna jednadžba s nepoznanicom V

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle pV^3-(bp+RT)V^2+aV-ab=0.}