Izomorfizam
Izvor: Hrvatska internetska enciklopedija
Izomorfizam u matematici predstavlja bijektivno i invertibilno preslikavanje dvije matematičke strukture iz jedne u drugu.
Osobine
Preslikavanje f iz jedne strukture u drugu se naziva izomorfizmom kada je:
Ako postoji izomorfizam između dvije strukture, tada se za njih kaže da su izomorfne. Ovo se, na primjer, za strukture X i Y označuje sa [math]\displaystyle{ X\cong Y }[/math].
Praktičan primjer
Slijede primjeri izomorfizama iz obične algebre.
-
Promatrajmo logaritamsku funkciju: Za svaku fiksnu bazu b, logaritam logb preslikava pozitivne realne brojeve [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^+ }[/math] u realne brojeve [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]; formalno:
- [math]\displaystyle{ \log_b : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} \! }[/math]
- [math]\displaystyle{ \log_b(x \times y) = \log_b(x) + \log_b(y) \! }[/math]
Logaritmi se stoga mogu koristiti za pojednostavljenja množenja realnih brojeva. Pomoću logaritama, množenje pozitivnih realnih brojeva se zamjenjuje zbrajanjem logaritama.
- Promatrajmo grupu Z/6Z brojeva od 0 do 5 u odnosu na zbrajanje po modulu 6. Također promatrajmo grupu Z/2Z × Z/3Z uređenih parova gdje x koordinate mogu biti 0 ili 1 i y koordinate mogu biti 0, 1, ili 2, pri čemu je zbrajanje x-koordinate je po modulu 2, dok je zbrajanje y-koordinate je po modulu 3.
Ove strukture su izomorfne u odnosu na zbrajanje, ako se identificiraju rabeći sljedeću lemu:
- (0,0) -> 0
- (1,1) -> 1
- (0,2) -> 2
- (1,0) -> 3
- (0,1) -> 4
- (1,2) -> 5