Homomorfizam

Homomorfizam (od grčki: homós - isti, grčki: morphe - oblik, forma) u matematici predstavlja preslikavanje između dvije algebarske strukture istog tipa, koje čuva njihovu strukturu.

Osobine

Neka su [math]\displaystyle{ (M,\cdot) }[/math] i [math]\displaystyle{ (K,\times) }[/math] dvije algebarske strukture istog tipa (grupa, polje, monoid itd.). Ako je preslikavanje [math]\displaystyle{ f: M \rightarrow K }[/math] homomorfizam a [math]\displaystyle{ a,b \in M }[/math] vrijedit će:

[math]\displaystyle{ f(a \cdot b) = f(a) \times f(b) }[/math]

Vrste homomorfizama

• Izomorfizam je bijektivni homomorfizam. Dva objekta su izomorfna ako postoji izomorfizam između njih. Izomorfni objekti su potpuno nerazaznatljivi što se tiče strukture koja je u pitanju.

• Epimorfizam je surjektivni homomorfizam.

• Monomorfizam je injektivni homomorfizam.

• Homomorfizam sa nekog objekta na samog sebe se zove endomorfizam.

• Endomorfizam koji je i izomorfizam se zove automorfizam.

U širem kontekstu preslikavanja koja čuvaju strukturu, općenito nije dovoljno definirati izomorfizam kao bijektivni morfizam. Potreban uvjet je i da je inverzni morfizam istog tipa. U algebarskim uvjetima, ovaj dodatni uvjet je automatski zadovoljen.