Descartesovo pravilo predznaka

Ovom je članku potrebno popraviti stil pisanja. (Rasprava) Članci na Hrvatskoj internetskoj enciklopediji (HIE) moraju biti pisani enciklopedijskim stilom.

Descartesovo pravilo predznaka je teorem u algebri koji kaže da je broj pozitivnih korijena ili nultočaka polinoma (brojeći višestrukost) [math]\displaystyle{ P(x) = a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a_1x + a_0 }[/math] manji ili jednak broju promjena predznaka koeficijenata [math]\displaystyle{ a_n, ..., a_0 }[/math] polinoma [math]\displaystyle{ P(x). }[/math] Drugi dio teorema kaže da su ta dva cijela broja iste parnosti.

Na primjer, predznaci koeficijenata polinoma [math]\displaystyle{ P(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 + 1 }[/math] redom su (+, +, −, +). U nizu su dvije promjene predznaka, pa prema Descartesovom pravilu polinom ima najviše 2 pozitivna korijena. Zbog drugoga dijela teorema polinom ne može imati samo jedan pozitivan korijen, ali može biti bez ijednoga.

Ovaj teorem je nazvan po slavnom francuskom matematičaru i filozofu Renéu Descartesu koji ga je prvi zapisao u svom djelu La Géométrie davne 1637.

Teorem se može koristiti i za broj negativnih korijena polinoma [math]\displaystyle{ P(x) }[/math] jer je taj broj jednak broju pozitivnih korijena polinoma [math]\displaystyle{ P(-x). }[/math]

Dokaz indukcijom

Descartesovo pravilo ćemo ovdje geometrijski dokazati metodom matematičke indukcije.

Pretpostavimo, bez smanjenja općenitosti, da je vodeći koeficijent [math]\displaystyle{ a_nx_n }[/math] polinoma [math]\displaystyle{ P(x) = a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a_1x + a_0 }[/math] pozitivan.

Uočimo da ako je [math]\displaystyle{ a_0 = P(0) = 0 }[/math] možemo izlučivati [math]\displaystyle{ x }[/math] iz [math]\displaystyle{ P(x) }[/math] sve dok ne dođemo do polinoma oblika [math]\displaystyle{ P(x) = x^pR(x), p \in \mathbb{N} }[/math] gdje je [math]\displaystyle{ R(x) }[/math] polinom kojemu slobodni član nije jednak nuli. Ovaj postupak nije moguće napraviti samo ako je izvorni polinom u obliku [math]\displaystyle{ P(x) = a_nx^n. }[/math] Primjerice, možemo računati [math]\displaystyle{ x^4 + 2x^3 - x^2 = xx(x^2 + 2x - 1). }[/math]

Uzimo sada opet opći polinom [math]\displaystyle{ P(x) = a_nx^n + ... + a_1x + a_0, }[/math] uz [math]\displaystyle{ a_n \gt 0, a_0 \neq 0 }[/math]. Ako je [math]\displaystyle{ a_0 = P(0) \gt 0 }[/math] broj promjena predznaka je paran jer bismo imali (+, ..., +). S druge strane, za dovoljno veliki [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] vrijedi [math]\displaystyle{ P(x_0 + \alpha) \gt 0, \forall \alpha \geq 0 }[/math] (slijedi iz svojstva injektivnosti i neprekidnosti polinomne funkcije i iz činjenice da je član [math]\displaystyle{ a_nx^n \gt 0 }[/math] za dovoljno veliki [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] dominantan nad ostalim članovima). Kako su [math]\displaystyle{ P(0) = a_0, P(x_0) \gt 0 }[/math] slijedi da će [math]\displaystyle{ P(x) }[/math] siječi apscisnu ili x-os u intervalu [math]\displaystyle{ [0, x_0] }[/math] paran broj puta (tj. broj nultočaka je paran).

Ako je pak [math]\displaystyle{ a_0 \lt 0 }[/math] broj promjena predznaka bi bio neparan jer bismo imali (+, ..., -) i iz [math]\displaystyle{ P(0) = a_0 \lt 0, P(x_0) \gt 0 }[/math] analogno bi slijedilo da postoji dovoljno veliki [math]\displaystyle{ x_0' }[/math] za koji je [math]\displaystyle{ P(x + \alpha') \gt 0, \forall \alpha' \geq 0 }[/math] pa bi taj graf sijekao x-os neparan broj puta (tj. broj nultočaka je neparan).

Treba napomenuti da ovo vrijedi i ako polinom ima višestruke korijene. Naime, ako neki polinom ima [math]\displaystyle{ s }[/math]-terostruki korijen [math]\displaystyle{ x = r }[/math] možemo ga napisati kao [math]\displaystyle{ P(x) = r^{s}Q(x) }[/math]. Ako je [math]\displaystyle{ s = 2l, l \in \mathbb{N} }[/math] njegov graf dodiruje točku [math]\displaystyle{ (r, 0) }[/math] lokalno u približnom obliku parabole, tj. slova "U", što ne mijenja parnost broja presjeka polinoma [math]\displaystyle{ P(x) }[/math] s x-osi. Za [math]\displaystyle{ s = 2l + 1 }[/math] polinom se lokalno ponaša približno kao kubna funkcija u [math]\displaystyle{ (0, 0) }[/math] pa se ni tada parnost broja presjeka grafa s x-osi ne mijenja.

Dakle, vidimo da su broj pozitivnih korijena polinoma i broj promjena predznaka njegovih koeficijenata iste parnosti.

Sada pretpostavimo da je broj pozitivnih korijena [math]\displaystyle{ k }[/math] veći od broja promjena predznaka koeficijenata [math]\displaystyle{ m }[/math] polinoma [math]\displaystyle{ P(x). }[/math] Uočimo da je tada [math]\displaystyle{ k }[/math] barem za 2 veći od [math]\displaystyle{ m. }[/math]

No, [math]\displaystyle{ P'(x) }[/math] je polinom s nultočkama između svake dvije nultočke polinoma [math]\displaystyle{ P(x) }[/math] (slijedi iz Rolleovog teorema).

To znači da je broj nultočaka polinoma [math]\displaystyle{ P'(x) }[/math] veći ili jednak [math]\displaystyle{ k - 1. }[/math]

Uočimo još da su brojevi promjena predznaka polinoma [math]\displaystyle{ P(x), P'(x) }[/math] jednaki (to slijedi iz pravila za derivaciju polinoma)

Zbog toga slijedi da je broj nultočaka polinoma [math]\displaystyle{ k }[/math] veći točno za 1 od [math]\displaystyle{ m }[/math] što nije moguće jer 1 nije paran broj.

Prema tome, pretpostavka je pogrešna pa je [math]\displaystyle{ k \leq m, }[/math] što je i trebalo pokazati.