Izomorfizam

Izomorfizam u matematici predstavlja bijektivno i invertibilno preslikavanje dvije matematičke strukture iz jedne u drugu.

Osobine

Preslikavanje f iz jedne strukture u drugu se naziva izomorfizmom kada je:

• f bijektivno
• f homomorfizam
• Inverzna funkcija f^-1 homomorfizam

Ako postoji izomorfizam između dvije strukture, tada se za njih kaže da su izomorfne. Ovo se, na primjer, za strukture X i Y označuje sa [math]\displaystyle{ X\cong Y }[/math].

Praktičan primjer

Slijede primjeri izomorfizama iz obične algebre.

• Promatrajmo logaritamsku funkciju: Za svaku fiksnu bazu b, logaritam log_b preslikava pozitivne realne brojeve [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^+ }[/math] u realne brojeve [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]; formalno:

  [math]\displaystyle{ \log_b : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} \! }[/math]

  Ovo preslikavanje je jedan-jedan i na, tj. ono je bijekcija iz domene u kodomenu logaritamske funkcije. Osim što je izomorfizam skupova, logaritamska funkcija također čuva određene operacije. Na primjer, promatrajmo grupu [math]\displaystyle{ (\mathbb{R}^+,\times) }[/math] pozitivnih realnih brojeva u odnosu na obično množenje. Za logaritamsku funkciju vrijedi sljedeći identitet:

  [math]\displaystyle{ \log_b(x \times y) = \log_b(x) + \log_b(y) \! }[/math]

  Ali realni brojevi u odnosu na zbrajanje su također grupa. Tako da je logaritamska funkcija u stvari izomorfizam grupe iz grupe [math]\displaystyle{ (\mathbb{R}^+,\times) }[/math] u grupu [math]\displaystyle{ (\mathbb{R},+) }[/math].

  Logaritmi se stoga mogu koristiti za pojednostavljenja množenja realnih brojeva. Pomoću logaritama, množenje pozitivnih realnih brojeva se zamjenjuje zbrajanjem logaritama.

• Promatrajmo grupu Z/6Z brojeva od 0 do 5 u odnosu na zbrajanje po modulu 6. Također promatrajmo grupu Z/2Z × Z/3Z uređenih parova gdje x koordinate mogu biti 0 ili 1 i y koordinate mogu biti 0, 1, ili 2, pri čemu je zbrajanje x-koordinate je po modulu 2, dok je zbrajanje y-koordinate je po modulu 3. Ove strukture su izomorfne u odnosu na zbrajanje, ako se identificiraju rabeći sljedeću lemu:

  (0,0) -> 0

  (1,1) -> 1

  (0,2) -> 2

  (1,0) -> 3

  (0,1) -> 4

  (1,2) -> 5

  ili poopćeno (a,b) -> ( 3a + 4 b ) mod 6. Na primjer, (1,1) + (1,0) = (0,1) što se preslikava u drugi sustav kao 1 + 3 = 4. Čak iako ova dva skupa izgledaju različito, ona su u stvari izomorfna. Općenito, Kartezijev produkt dvije cikličke grupe Z/nZ i Z/mZ je ciklički ako i samo ako su n i m relativno prosti.