Funkcija identiteta

Funkcija identiteta (ili jednostavno identiteta) je matematička funkcija kojoj je svaka vrijednost jednaka pripadajućoj vrijednosti argumenta. Odnosno, vrijedi <math>f(x) = x </math> za svaki <math>x</math> iz domene funkcije <math>f.</math> Uz taj uvjet, ako su skupovi <math>A, B</math> redom domena i kodomena od <math>f</math>, treba istaknuti da je nužno da vrijedi i <math>A = B</math> da bi funkcija bila identiteta.

Dakle identiteta je dana dvama uvjetima: mora biti <math>x \mapsto x=f(x)</math> te <math>f\colon A \to A</math>.

Najpoznatiji primjer identitete je funkcija <math>f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, <math>x \mapsto x</math> na skupu realnih brojeva koja je u Kartezijevom koordinatnom sustavu predočena pravcem <math>y = x</math>. Taj je pravac simetrala I. i III. kvadranta.

Pravac y = x kao graf funkcije identitete na skupu realnih brojeva

Definicija

Ako je <math>M</math> neki skup, funkcija identiteta <math>f</math> na <math>M</math> je definirana da bude takva funkcija s domenom i kodomenom <math>M</math> koja zadovoljava

<math>f(x) = x</math> za svaki element <math>x</math> u <math>M</math>.<ref>Knapp, Anthony W. (2006), Basic algebra, Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9  </ref>

Drugim riječima, funkcijska vrijednost <math>f(x)</math> u <math>M</math> (dakle u kodomeni) je uvijek jedna te ista ulazna vrijednost <math> x </math> od <math> M </math> (sada domena). Funkcija identiteta na <math> M </math> je očito injektivna te surjektivna, pa je ona očito bijekcija.

Funkcija identiteta <math>f</math> na <math> M </math> nerijetko se označuje s <math> \text{id}_M</math>.