Eksponencijalna funkcija
U matematici eksponencijalna funkcija je funkcija f(x) = ex gdje je broj e prirodna konstanta i baza prirodnih logritama. Funkcija f(x) = ex je definirana unutar cijelog skupa realnih brojeva, monotono je rastuća porastom nezavisne varijable x, gdje se brzina rasta povećava kako raste x.
Graf funkcije (slika desno) leži iznad x-osi, ali joj se asimptotski približava kako x teži prema sve manjim negativnim vrijednostima. Brzina rasta funkcije je u svakoj točki jednaka vrijednosti funkcije u toj točki. Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije je funkcija prirodnog logaritma f(x) = ln(x) te se u starijim izvorima eksponencijalna funkcija spominje kao antilogaritamska funkcija.
Definicija
Eksponencijalna funkcija ex može biti definirana kao niz potencija razvijenih u Taylorov red:
- [math]\displaystyle{ e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots. }[/math]
Eksponencijalna funkcija se može također izraziti i kao limes:
- [math]\displaystyle{ e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n. }[/math]
Kako n raste, vrijednost limesa izraza se sve više približava vrijednosti ex (slika desno).
Jedinstveno svojstvo eksponencijalne funkcije može se izraziti pomoću jednakosti
- [math]\displaystyle{ e^{(x+y)} = e^x \cdot e^y \, }[/math]
odnosno napisano drukčije
- [math]\displaystyle{ \exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y). }[/math]
Razvoj funkcije [math]\displaystyle{ e^x }[/math] preko limesa
Očito za svaki [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/math] kada [math]\displaystyle{ n \rightarrow \infty }[/math] vrijedi [math]\displaystyle{ e^{\frac{x}{n}} \rightarrow 1. }[/math] Slično se vidi i da [math]\displaystyle{ (1 + \frac{x}{n}) \rightarrow 1. }[/math] Za dovoljno veliki [math]\displaystyle{ n }[/math] možemo reći da razlika ova dva (pozitivna) broja postaje zanemariva, tj. [math]\displaystyle{ e^{\frac{x}{n}} = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n}) }[/math] pa je zaista [math]\displaystyle{ e^x = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n. }[/math]
Ovaj je identitet itekako koristan u realnoj analizi pri izučavanja eksponencijalnih, ali i nekih drugih funkcija. Neka imamo primjerice funkciju [math]\displaystyle{ f(x) = a^x, a \in \mathbb{R_{\geq 0}}. }[/math] Tada možemo pisati [math]\displaystyle{ f(x) = e^{x\ln_{a}}. }[/math] Ovo je korisno zbog važnog svojstva funkcije [math]\displaystyle{ e^x, }[/math] a to je [math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}e^x = e^x. }[/math]
S druge strane, gore razrađeni identitet je baza kompleksne analize. Defniramo kompleksnu eksponencijalnu funkciju [math]\displaystyle{ e^{ix} }[/math] stavljajući [math]\displaystyle{ x := xi, }[/math] gdje je [math]\displaystyle{ i^2 = - 1. }[/math] Time se lako dokaže i Eulerova formula.
Derivacija
Važnost eksponencijalne funkcije u matematici i znanosti potječe uglavnom iz svojstava njezine derivacije koja ima svojstvo da je
- [math]\displaystyle{ \,{d \over dx} e^x = e^x }[/math]
što znači da je funkcija ex ujedno i svoja derivacija. Isto takvo svojstvo imaju i funkcija oblika Kex gdje je K konstanta.
Za sve funkcije takvih svojstava vrijedi da je:
- strmina, odn. nagib grafa funkcije u svakoj točki jednak vrijednosti funkcije u toj točki,
- brzina porasta funkcije za vrijednost slobodne varijable x jednaka vrijednosti funkcije u x,
- eksponencijalna funkcije rješenje diferencijalne jednadžbe y ′ = y.
Štoviše, i drugi oblici diferencijalnih jednadžbi nalaze rješenje u eksponencijalnim funkcijama uključivši Schrödingerovu jednadžbu, Laplaceovu jednadžbu te jednadžbu jednostavnog harmoničkog gibanja.
Eksponencijalna funkcija s realnim brojem a kao bazom
Ponekad se pojam eksponencijalne funkcije koristi općenitije za funkcije oblika
- [math]\displaystyle{ f(x)=a^x \, }[/math]
gdje baza a može biti i bilo koji pozitivni realni broj, a ne nužno broj e.
Za eksponencijalne funkcije s drugim bazama vrijedi da je
- [math]\displaystyle{ {d \over dx} a^x = (\ln a) a^x. }[/math]
Eksponencijalna funkcija u kompleksnoj ravnini
Eksponencijalna funkcija može se definirati i u kompleksnoj ravnini na nekoliko ravnopravnih načina. Neki od njih odražavaju iste izraze kao i za eksponencijalne funkcije realne varijable. Na primjer, eksponencijalna funkcija kompleksne varijable može se izraziti u obliku reda potencija gdje su realne vrijednosti zamijenjene kompleksnima:
- [math]\displaystyle{ \,\!\, e^z = \sum_{n = 0}^\infty\frac{z^n}{n!} }[/math]
Koristeći ovu definiciju jednostavno je pokazati da jednakost
- [math]\displaystyle{ {d \over dz} e^z = e^z }[/math]
vrijedi i u kompleksnoj ravnini.
Razmatrana kao funkcija definirana u kompleksnoj ravnini, eksponencijalna funkcija zadržava svoja osnovna svojstva:
- [math]\displaystyle{ \,\!\, e^{z + w} = e^z e^w }[/math]
- [math]\displaystyle{ \,\!\, e^0 = 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \,\!\, e^z \ne 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \,\!\, {d \over dz} e^z = e^z }[/math]
za sve kompleksne brojeve z i w. Eksponencijalna funkcija može biti i periodička kada je funkcija imaginarnog argumenta perioda [math]\displaystyle{ 2 \pi i }[/math] jer vrijedi
- [math]\displaystyle{ \,\!\, e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b) }[/math]
i
- [math]\displaystyle{ \,e^z = e^xe^{yi} = e^x(\cos y + i \sin y) = e^x\cos y + ie^x\sin y. }[/math]
gdje su a i b realne vrijednosti. Jednakost povezuje eksponencijalnu funkciju s trigonometrijskim funkcijama i dalje s hiperboličkim funkcijama. Štoviše, može se definirati i funkcija oblika ab, gdje su i a i b kompleksne veličine.
Pojam prirodnog logaritma se može također proširiti i na funkciju kompleksnog argumenta ln(z), gdje možemo definirati općenitije da je
- [math]\displaystyle{ \,\!\, z^w = e^{w \ln z} }[/math]
za sve kompleksne brojeve z i w. Ovo je također višeznačna funkcija i identitet vrijedi ukoliko se uzme u obzir višeznačnost funkcije. Naime, upravo zbog višeznačnosti funkcije općenito ne vrijedi pravilo množenja eksponenata za pozitivne realne brojeve
- [math]\displaystyle{ \,\!\, (e^z)^w \ne e^\left(z w\right) }[/math]
Literatura
- Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, 2006.
- Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, 2006.