Kvadratna jednadžba je jednadžba u kojoj se nepoznata veličina pojavljuje pod znakom potencije 2, dakle jednadžba općenitog oblika
koja je poseban slučaj polinoma n-tog reda gdje je n = 2.
Kvadratna jednadžba za
Može se prikazati u obliku:
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ax^2 + c = 0 \, }
iz čega slijedi da je
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2 = -\frac{c}{a} \, }
Ako je jedan od članova negativan, jednadžba će imati dva realna rješenja (dva realna korijena)
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1 = + \sqrt{ \frac{c}{a}}, x_2 = - \sqrt{ \frac{c}{a}} \, } ,
a ako su oba člana negativna ili pozitivna jednadžba će imati dva imaginarna rješenja
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1 = +i \sqrt{ \frac{c}{a}}, x_2 = -i \sqrt{ \frac{c}{a}} \, } .
Ovakav se tip kvadratne jednadžbe u mnogim udžbenicima zove čista kvadratna jednadžba.
Kvadratna jednadžba za Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c = 0 }
Može se prikazati u obliku
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ax^2 + bx = 0 \, }
što se može prikazati i kao
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x(ax+b) = 0 \, } .
Rješenja ove jednadžbe bit će očito
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1 = 0, x_2 = -\frac{b}{a} \, } ,
gdje ovakav oblik kvadratne jednadžbe ima uvijek realna rješenja.
Ova jednadžba nerijetko se naziva prikraćena kvadratna jednadžba.
Kvadratna jednadžba sa svim članovima
Kvadratna jednadžba oblika
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ax^2 + bx + c = 0 \, }
može se jednostavno riješiti ako se kvadratna jednadžba može prikazati kao produkt dva binomna faktora. Na primjer, odmah je vidljivo da se jednadžba
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2 + x - 12 = 0 \, }
može prikazati i kao
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x-3)(x+4) = 0 \, }
gdje je očito da će rješenja jednadžbe biti
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1= 3, x_2= -4 \, }
jer upravo za te vrijednosti nezavisne varijable vrijednost funkcije će biti jednaka nuli. Kvadratna jednadžba se, međutim, pojavljuje u tako povoljnim oblicima razmjerno rijetko te najčešće valja poznavati općenito rješenje kvadratne jednadžbe.
Općenito rješenje kvadratne jednadžbe
Kvadratna jednadžba oblika
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ax^2 + bx + c = 0 \, }
može se transformirati redom kako slijedi
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \, }
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x + \frac{b}{2a}) ^2 + \frac{c}{a} -\frac{b^2}{4a^2} = 0 \, }
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x + \frac{b}{2a}) ^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \, }
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x + \frac{b}{2a}) ^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} \, }
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{1,2} + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}} }
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{1,2} = -\frac{b}{2a} \pm\sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}} }
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \, }
gdje posljednja jednakost daje eksplicitna rješenja kvadratne jednadžbe. Izraz
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b^2-4ac\, }
naziva se diskriminanta kvadratne jednadžbe te se kvadratnu jednadžba može prikazati i u sljedećem obliku
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x _{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt{D}}{2a}. \, }
Diskriminanta i rješenja kvadratne jednadžbe
Kvadratna jednadžba samo je jedan poseban slučaj kvadratne funkcije:
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=ax^2 + bx + c \, }
gdje je ona za rješenja kvadratne jednadžbe Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1} i Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_2} jednaka nuli. Postojanje rješenja je neposredno uvjetovano tijekom i svojstvima kvadratne funkcije. Ako je diskriminanta D > 0 (slika desno, D =Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigtriangleup} , krivulja obojena u plavo) tada će kvadratna jednadžba imati dva realna rješenja, ako je diskriminanta D = 0, kvadratna jednadžba će imati jedno, dvostruko rješenje (crvena krivulja), a ako je diskriminanta D < 0 tada jednadžba nema realnih već ima dva konjugirano-kompleksna rješenja (žuta krivulja).
Rješenja kvadratne jednadžbe imaju i neka posebna svojstva data Vieteovim poučkom koji ustanovljava sljedeću povezanost s koeficijentima jednadžbe a, b i c:
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1+x_2 = - \frac{b}{a}}
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1x_2 = \frac{c}{a}} .
Kvadratna funkcija i kvadratna jednadžba
Kvadratna se jednadžba može shvatiti i kao poseban slučaj kvadratne funkcije y = f(x) za vrijednost funkcije y = 0, gdje tada rješenja kvadratne jednadžbe predstavljaju nultočke kvadratne funkcije. Parabola je u tom slučaju krivulja koja predstavlja graf kvadratne funkcije, a razlikuju se tri slučaja:
- Ako postoje dva različita sjecišta grafa funkcije s apscisom, odn. x-osi koordinatnog sustava, kvadratna jednadžba će imati dva različita i realna rješenja.
- Ako je apscisa, odn. x-os tangenta grafa kvadratne funkcije te prolazi kroz tjeme parabole, kvadratna jednadžba će imati jedno dvostruko i realno rješenje.
- Ako graf kvadratne funkcije nigdje ne presijeca apscisu, odn. x-os, tada kvadratna jednadžba nema realna, već ima dva konjugirano-kompleksna rješenja.
Kvadratna jednadžba s cjelobrojnim rješenjima
Kvadratna jednadžba Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2 + bx + c = 0 } imat će cjelobrojna rješenja Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1, x_2} ako i samo ako se Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b, c } mogu zapisati u "mn-obliku", odnosno u obliku Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b = x_1 + x_2 = m, c = x_1x_2 = n} , gdje su Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m, n } očito cijeli brojevi. (1)
Naime, gornja se jednadžba može zapisati u obliku Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x - x_1)(x - x_2) } . Sada lagano slijedi Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2 + (- x_1 - x_2)x + x_1x_2 = 0 } , a očito je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (- x_1)(- x_2) = x_1x_2 } , što je i trebalo pokazati.
Primjeri
Ovo svojstvo se često koristi pri osnovnim matematičkim zadacima natjecateljskog tipa.
Na primjer, treba riješiti jednadžbu Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2 - 2022x + 2021 = 0} . Korištenjem kvadratne formule, postupak rješavanja nepotrebno bi bio kompliciran.
Treba uočiti da je ta jednadžba ekvivalentna s Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2 - 2021x - x + 2021 = 0} .
Sada grupiramo faktore na povoljan način i faktoriziramo: Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x(x - 1) - 2021(x - 1) = 0 } , tj. Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x - 1)(x - 2021) = 0 } , odakle slijedi da su rješenja Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1 = 1, x_2 = 2021} .
Zanimljivosti
Jedina kvadratna jednadžba oblika Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2 \pm ax + a, a \in \mathbb{Z}, a \neq 0} s cjelobrojnim rješenjima je kvadratna jednadžba Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2 \pm 4x + 4 = (x \pm 2)^2 } .
Razlog je tomu što su Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2, - 2} jedini brojevi (i broj nula, ali mora biti Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \neq 0} ) za koje je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\pm \alpha) \cdot (\pm \alpha) = \alpha + \alpha, \alpha \in \mathbb{Z}} , tj. Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2 \cdot 2 = (-2)(-2) = 2 + 2} , pa prema (1) slijedi da nema drugih mogućnosti.
Primjena
U fizikalnim sustavima brojne veličine ovise o kvadratu drugih veličina te se kvadratna jednadžba često nalazi i u vrlo praktičnoj primjeni. Na primjer:
- centrifugalna sila razmjerna je kvadratu obodne brzine
- električna snaga na električnom otporniku razmjerna je kvadratu električnog napona na njegovim priključcima,
- jednoliko ubrzanom gibanju prijeđeni put je razmjeran kvadratu vremena
Literatura
- Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.