Vektorsko polje

Vektorsko polje oblika f(x,y)=(−y, x)

U matematici i fizici vektorsko polje je polje koje svakoj točki lokalno Euklidskog prostora pridružuje vektorsku veličinu. U fizici, primjeri vektorskih polja su polje brzina čestica u fluidu ili električno i magnetsko polje. Za razliku od njih, skalarna polja svakoj točki prostora pridružuju jedan skalar (broj), poput temperature ili lokalne gustoće.

Neki od diferencijalnih operatora primjenjivih na vektorsko polje su divergencija i rotacija.

Formalna definicija

Neka $X_{0}$ označava skup svih radijvektora u koordinatnom sustavu $\left(O,x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{k}\right);k=\dim D$, tj.

$X_{0}=\{{\overrightarrow {OM}}|M=(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{k})\in \mathbb {R} ^{n}\}$

Radijvektor je reprezentant (predstavnik) vektora kao klase usmjerenih dužina koji početak ima u ishodištu koordinatnog sustava. Neka je $D\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ skup koordinata.

Tada je svaka funkcija

$\mathbf {F} :D\mapsto X_{0}$

vektorska funkcija skalarne varijable, ili kraće vektorska funkcija ili vektorsko polje. Drugim riječima, vektorsko polje je funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje vektor.

Datoteka:Potencijalno v polje.png

Potencijalno vektorsko polje

Datoteka:Solenoidno vektorsko polje.png

Solenoidno vektorsko polje

Datoteka:Laplaceovo Vektorsko Polje.png

Laplaceovo vektorsko polje

Opće vektorsko polje

Transformacije sustava

Neka je $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ i $V_{x}:S\mapsto \mathbb {R} ^{n}$ vektorsko polje u euklidskim koordinatama. Ako je $Y$ neki drugi koordinatni sustav na S, tada je izraz za to vektorsko polje u sustavu $Y$:

$V_{Y}:={\frac {\partial y}{\partial x}}V_{x}.$

Napomene

Za V se kaže da je C^k vektorsko polje, ako je ono k puta diferencijabilno.

Jako je važno razlikovati vektorsko i skalarno polje! Što vrijedi za vektore i skalare, isto vrijedi i ovdje: glavna i bitna razlika je u koordinatnim transformacijama: skalar sam po sebi jest koordinata, dok je vektor opisan koordinatama, ali sam po sebi nije kolekcija koordinata. Tako i skalarno polje svakoj točki prostora pridružuje koordinate, a vektorsko vektore.

Primjene

Vektorska polja se najviše primjenjuju u fizici, npr.

• Brzinu vjetra možemo zamisliti kao vektorsko polje nad $\mathbb {R} ^{4}$, gdje su svakoj točki prostora u svakom trenutku vremena $\left(x,y,z,t\right)$ pridružene brzine

${\vec {v}}(x,y,z,t)=v_{x}(x,y,z,t)\,{\vec {\imath }}+v_{y}(x,y,z,t)\,{\vec {\jmath }}+v_{z}(x,y,z,t)\,{\vec {k}}$,

• Brzina protjecanja fluida kroz cijev,
• Opis magnetskog djelovanja,
• Opis električnog djelovanja,
• Gravitacija.

Podjela

Prema divergenciji i rotaciji, vektorska polja dijelimo na:

• Potencijalno ili bezvrtložno:

${\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}$

${\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim točkama)}}$

• Solenoidno ili bezizvorno:

${\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim točkama)}}$

${\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}$

• Laplaceovo:

${\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}$

${\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}$

• Polje općeg oblika ili složeno polje:

${\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim točkama)}}$

${\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim točkama)}}$

Povezani pojmovi

• Tok polja
• Divergencija
• Rotacija polja
• Električno polje
• Magnetsko polje
• Elektromagnetsko polje

Vanjske Poveznice

• Skalarna i vektorska polja. Gradijent.
• Skalarna i vektorska polja.
• Wolfram: Vector Fields
• 2D Vector Field Simulation
• 3D Vector Field Simulation