Vektorsko polje

Vektorsko polje oblika f(x,y)=(−y, x)

U matematici i fizici vektorsko polje je polje koje svakoj točki lokalno Euklidskog prostora pridružuje vektorsku veličinu. U fizici, primjeri vektorskih polja su polje brzina čestica u fluidu ili električno i magnetsko polje. Za razliku od njih, skalarna polja svakoj točki prostora pridružuju jedan skalar (broj), poput temperature ili lokalne gustoće.

Neki od diferencijalnih operatora primjenjivih na vektorsko polje su divergencija i rotacija.

Formalna definicija

Neka [math]\displaystyle{ X_0 }[/math] označava skup svih radijvektora u koordinatnom sustavu [math]\displaystyle{ \left(O,x_1,x_2,x_3,...,x_k\right); k = \dim D }[/math], tj.

[math]\displaystyle{ X_0=\{\overrightarrow{OM}| M=(x_1,x_2,x_3,...,x_k)\in\mathbb{R}^n \} }[/math]

Radijvektor je reprezentant (predstavnik) vektora kao klase usmjerenih dužina koji početak ima u ishodištu koordinatnog sustava. Neka je [math]\displaystyle{ D\subseteq\mathbb{R}^n }[/math] skup koordinata.

Tada je svaka funkcija

[math]\displaystyle{ \mathbf{F}:D \mapsto X_0 }[/math]

vektorska funkcija skalarne varijable, ili kraće vektorska funkcija ili vektorsko polje. Drugim riječima, vektorsko polje je funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje vektor.

Datoteka:Potencijalno v polje.png

Potencijalno vektorsko polje

Datoteka:Solenoidno vektorsko polje.png

Solenoidno vektorsko polje

Datoteka:Laplaceovo Vektorsko Polje.png

Laplaceovo vektorsko polje

Opće vektorsko polje

Transformacije sustava

Neka je [math]\displaystyle{ S\subseteq\mathbb{R}^n }[/math] i [math]\displaystyle{ V_x:S\mapsto\mathbb{R}^n }[/math] vektorsko polje u euklidskim koordinatama. Ako je [math]\displaystyle{ Y }[/math] neki drugi koordinatni sustav na S, tada je izraz za to vektorsko polje u sustavu [math]\displaystyle{ Y }[/math]:

[math]\displaystyle{ V_Y:=\frac{\partial y}{\partial x}V_x. }[/math]

Napomene

Za V se kaže da je C^k vektorsko polje, ako je ono k puta diferencijabilno.

Jako je važno razlikovati vektorsko i skalarno polje! Što vrijedi za vektore i skalare, isto vrijedi i ovdje: glavna i bitna razlika je u koordinatnim transformacijama: skalar sam po sebi jest koordinata, dok je vektor opisan koordinatama, ali sam po sebi nije kolekcija koordinata. Tako i skalarno polje svakoj točki prostora pridružuje koordinate, a vektorsko vektore.

Primjene

Vektorska polja se najviše primjenjuju u fizici, npr.

Brzinu vjetra možemo zamisliti kao vektorsko polje nad [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^4 }[/math], gdje su svakoj točki prostora u svakom trenutku vremena [math]\displaystyle{ \left(x,y,z,t\right) }[/math] pridružene brzine

[math]\displaystyle{ \vec{v}(x,y,z,t)=v_x(x,y,z,t)\,\vec{\imath}+v_y(x,y,z,t)\,\vec{\jmath}+v_z(x,y,z,t)\,\vec{k} }[/math],

Brzina protjecanja fluida kroz cijev,
Opis magnetskog djelovanja,
Opis električnog djelovanja,
Gravitacija.

Podjela

Prema divergenciji i rotaciji, vektorska polja dijelimo na:

Potencijalno ili bezvrtložno:

[math]\displaystyle{ \mbox{rot}\,\overrightarrow{W}=0 \mbox{ (svuda)} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mbox{div}\,\overrightarrow{W}\neq 0 \mbox{ (barem u nekim točkama)} }[/math]

Solenoidno ili bezizvorno:

[math]\displaystyle{ \mbox{rot}\,\overrightarrow{W}\neq 0 \mbox{ (barem u nekim točkama)} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mbox{div}\,\overrightarrow{W} = 0 \mbox{ (svuda)} }[/math]

Laplaceovo:

[math]\displaystyle{ \mbox{rot}\,\overrightarrow{W}=0 \mbox{ (svuda)} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mbox{div}\,\overrightarrow{W}=0 \mbox{ (svuda)} }[/math]

Polje općeg oblika ili složeno polje:

[math]\displaystyle{ \mbox{rot}\,\overrightarrow{W} \neq 0 \mbox{ (barem u nekim točkama)} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mbox{div}\,\overrightarrow{W} \neq 0 \mbox{ (barem u nekim točkama)} }[/math]

Povezani pojmovi

Vanjske Poveznice