Radijvektor

Radijvektor [math]\displaystyle{ \vec{r} }[/math] određuje položaj točke [math]\displaystyle{ \mathrm{P} }[/math] u odnosu na pol [math]\displaystyle{ \mathrm{O} }[/math]. U Kartezijevom sustavu on se može prikazati pomoću projekcija točke na jedinične vektore osi [math]\displaystyle{ \hat{e}_x }[/math], [math]\displaystyle{ \hat{e}_y }[/math], [math]\displaystyle{ \hat{e}_z }[/math] kao [math]\displaystyle{ \vec{r}=x\,\hat{e}_x+y\,\hat{e}_y+z\,\hat{e}_z }[/math].

Radijvektor, radijusvektor, radijus-vektor ili vektor položaja je vektor [math]\displaystyle{ \vec r }[/math] kojemu je vrh u promatranoj točki P, a početak u nekoj nepomičnoj zadanoj točki O (polu), obično ishodištu nekoga koordinatnog sustava. Uz nepomični pol svaka je točka određena svojim radijvektorom, pa se piše [math]\displaystyle{ \mathrm{P}(\vec r) }[/math]. Ako je pol u ishodištu Kartezijeva sustava, koordinate radijvektora točke upravo su Kartezijeve koordinate te točke.

Formalno je svaki vektor klasa usmjerenih dužina koje se translacijom mogu dovesti jedna u drugu, što znači da imaju jednak smjer i duljinu, pa su radijvektori samo predstavnici svoje klase s početkom u odabranoj točki.

Primjena

U mehanici se jednadžbe gibanja čestica i tijela u prostoru iskazuju pomoću njihova vektora položaja [math]\displaystyle{ \vec{r} }[/math] te njegovih derivacija, brzine

[math]\displaystyle{ \vec{v}=\dot{\mathbf r}=\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\vec{r} }[/math]

i ubrzanja

[math]\displaystyle{ \vec{a}=\ddot{\mathbf r}=\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\vec{r} }[/math].

Ovdje podebljani simboli, jednako kao i strelice, označavaju vektore, a točke iznad simbola prvu i drugu derivaciju po vremenu.

U fizici se Newtonov zakon u slučajevima kada sila nema jednostavnu ovisnost o koordinatama često piše kao diferencijalna jednadžba

[math]\displaystyle{ m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2}\vec{r}=\vec{F}(\vec{r}, \dot{\vec{r}}, t) }[/math]

što je u Kartezijevom sustavu ekvivalentno trima jednadžbama za svaku od tri ortogonalne komponente radijvektora [math]\displaystyle{ \vec{r}=(x,y,z) }[/math] i sile [math]\displaystyle{ \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) }[/math]:

[math]\displaystyle{ m\ddot{x}=F_x (x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z},t) }[/math]

[math]\displaystyle{ m\ddot{y}=F_y (x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z},t) }[/math]

[math]\displaystyle{ m\ddot{z}=F_z (x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z},t) }[/math].

Ovdje je općenito stavljeno da sila u svakom smjeru može ovisiti o svim koordinatama tijela te o svim komponentama njegove brzine.

Drugi Keplerov zakon

Podrobniji članak o temi: Drugi Keplerov zakon

Radijvektor (vektor položaja) Sunce-planet opisuje u jednakim vremenskim razmacima jednake površine (plava površina). Zelena strelica prikazuje brzinu (vektor brzine). Ljubičasta strelica usmjerena prema Suncu prikazuje ubrzanje (ostale dvije ljubičaste strelice su komponente ubrzanja, jedna okomita i druga paralelna s brzinom.

Drugi Keplerov zakon glasi:

Radijvektor Sunce-planet opisuje u jednakim vremenskim razmacima jednake površine.

[math]\displaystyle{ dv }[/math] je priraštaj kuta [math]\displaystyle{ v }[/math] koji odgovara kratkom intervalu [math]\displaystyle{ dt }[/math]. Za to vrijeme radijvektor prebriše površinu:

[math]\displaystyle{ dp=\frac{r^2 \, \pi}{2 \, \pi} \cdot dv=\frac{1}{2} \, r^2 \, dv }[/math]

([math]\displaystyle{ v }[/math] u radijanima), jer, s obzirom na to da je priraštaj [math]\displaystyle{ dv }[/math] vrlo malen, može se površina isječka elipse smatrati površinom isječka kruga s polumjerom [math]\displaystyle{ r }[/math]. Tako proizlazi:

[math]\displaystyle{ \frac{dp}{dt}=\frac{1}{2} \, r^2 \cdot \frac{dv}{dt} }[/math]

Ova se veličina naziva površinskom brzinom. Prema drugom Keplerovu zakonu ona je konstantna pa se zakon može napisati kao

[math]\displaystyle{ r^2 \cdot \frac{dv}{dt}=C }[/math].