Logaritamska jednadžba

Logaritamska jednadžba je jednadžba gdje je nepoznata veličina sadržana unutar logaritma ili čini bazu logaritma.

Područje definicije

Logaritamska jednadžba je definirana sukladno području unutar kojeg je definirana i logaritamska funkcija. U tom smislu baza logaritma mora biti pozitivan broj veći od nule što također vrijedi i za izraz na koji se logaritam odnosi (u domeni realnih brojeva nije definiran logaritam negativnog broja).

Jednostavna logaritamska jednadžba

Jednostavnijom logaritamskom jednadžbom možemo smatrati logaritamsku jednadžbu gdje se nepoznata veličina pojavljuje unutar jednog izraza logaritma ili se pojavljuje kao baza logaritma.

Primjer 1

Zadana je logaritamska jednadžba:

[math]\displaystyle{ \log \frac{2x}{x-4} = 1\, }[/math]

Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \frac{2x}{x-4} & = 10 \\ 2x & = 10(x-4) \\ 2x& = 10x-40 \\ -8x& =-40 /  : (-8) \\ x& = 5 \end{align} }[/math]

Primjer 2

Zadana je logaritamska jednadžba: [math]\displaystyle{ \log_{x-2}1000=3 \, }[/math] Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:

[math]\displaystyle{ \begin{align} (x-2) ^3& = 1000 \\ (x-2) ^3& = 10^3 \\ x-2& = 10 \\ x& = 12 \\ \end{align} }[/math]

Primjer 3

Zadana je logaritamska jednadžba:

[math]\displaystyle{ \log_5 |2x-3| = 3 \, }[/math]

odakle slijedi da je:

[math]\displaystyle{ |2x-3| = 5^3 \, }[/math] odn.

[math]\displaystyle{ |2x-3| = 125. \, }[/math]

Rješavajući ovu jednadžbu s apsolutnom vrijednosti, lako je naći da postoje dva moguća rješenja početne logaritamske jednadžbe: x₁ = 64 te x₂ -61.

Složenija logaritamska jednadžba

Složenije logaritamske jednadžbe sadrže veći broj članova gdje se nepoznata veličina nalazi unutar logaritma ili kao baza logaritma, a gdje se logaritamska jednadžba može pojaviti u brojnim oblicima i gdje svaka jednadžba u rješavanju može tražiti poseban postupak rješavanja.

Primjer 1

Zadana je logaritamska jednadžba:

[math]\displaystyle{ \log^2x - \log x^2 - 8 =0 \, }[/math]

Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \log^2x - 2\log x - 8& = 0 /\text{supstitucija:} \log x=y \\ y^2-2y-8& = 0 \end{align} }[/math]

Rješavajući nađenu kvadratnu jednadžbu po y kao rješenje kvadratne jednadžbe nalazimo y₁ = 4 te y₂ = -2. Sukladno supstituciji logx=y, slijede i rješenja početno zadane logaritamske jednadžbe: x₁ = 10.000 te x₂ = 0,01.

Primjer 2

[math]\displaystyle{ \log_2(x^2+4) = 2 + \log_2x \, }[/math]

Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:

[math]\displaystyle{ \begin{align} 2^{(2+\log_2x)}& = x^2+4 \\ 4\cdot2^{\log_2x}& = x^2+4 \\ 4x& = x^2+4 \\ -x^2+4x-4 & = 0 / \cdot(-1) \\ x^2-4x+4 & = 0 \end{align} }[/math]

Rješavajući nađenu kvadratnu jednadžbu po x kao rješenje kvadratne jednadžbe nalazimo x₁ = x₂ = 2, a što je ujedno i rješenje početne logaritamske jednadžbe.

Primjer 3

Zadana je logaritamska jednadžba:

[math]\displaystyle{ 3\log_2x-2\log_x2=1 \, }[/math]

Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:

[math]\displaystyle{ \begin{align} 3\log_2x -2 \frac{\log_22}{\log_2x} & = 1 \\ 3\log_2x -2 \frac{1}{\log_2x} & = 1 / \cdot(\log_2x ) \\ 3\log_2^2x-\log_2x-2 & = 0 /\text{supstitucija:} \log_2x=y \\ 3y^2-y-2& = 0 \\ \end{align} }[/math]

Rješavajući nađenu kvadratnu jednadžbu po y kao rješenje kvadratne jednadžbe nalazimo y₁ = 1 te y₂ = -2/3. Sukladno supstituciji log₂x=y, slijede i rješenja početno zadane logaritamske jednadžbe: x₁ = 2 te x₂ = 2^(-2/3).

Primjer 4

Zadana je logaritamska jednadžba:

[math]\displaystyle{ \log(\log x) + \log(\log x^3-2)=0 \, }[/math]

Sukladno pravilima o računanju s logaritmima nalazimo, redom:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \log x(\log x^3-2) & = 1 \\ \log x(3\log x-2) & = 1 \\ 3\log^2x-2\log x-1& = 0 \end{align} }[/math]

Rješavajući nađenu kvadratnu jednadžbu po logx kao rješenje kvadratne jednadžbe nalazimo logx₁ = 1 te log x₂ = -1/3. Kako je jedan od članova početne logaritamske jednadžbe izražen kao log(logx), drugo rješenje očito nema smisla prema definiciji logaritma. Postoji, dakle, samo jedno rješenje gdje je logx = 1, odakle slijedi da je x = 10, što je i jedino rješenje početne logaritamske jednadžbe.

Literatura

• Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, 2006.