Laplaceova transformacija

Laplaceova transformacija je integralna transformacija s brojnim i važnim mogućnostima primjene u matematici, fizici, elektrotehnici, teoriji vjerojatnosti i drugdje. Laplaceova transformacija je povezana s Fourierovom transformacijom, no gdje Fourierova transformacija rješava funkciju ili signal (na primjer u elektrotehnici) u području kontinuiranih sinusoidalnih (ili kosinusoidalnih) promjena (titraja), Laplaceova transformacija rješava odziv sustava za bilo koji valni oblik pobude. Laplaceova transformacija se koristi i za rješavanje diferencijalnih i integralnih jednadžbi te analizu električkih krugova, oscilatora, optičkih naprava ili mehaničkih sustava. U ovim razmatranjima se Laplaceova transformacija tumači kao transformacija iz područja vremena, gdje su ulazne i izlazne veličine funkcije vremena t, u područje kompleksne kružne frekvencije s. Laplaceova transformacija na taj način često znatno pojednostavljuje analizu sustava ili sintezu sustava zasnovanu na traženim karakteristikama.

Označena kao Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}} , Laplaceova transformacija je linearni operator na funkciji f(t) (original) s realnim argumentom t (t ≥ 0) koji je transformira u funkciju F(s) (sliku) s kompleksnim argumentom s. Ova transformacija je za većinu konkretnih praktičkih primjena u osnovi bijektivna gdje su odgovarajući parovi f(t) i F(s) dati u nastavku. Laplaceova transformacija ima korisna svojstva koja mnoge odnose i operacije nad originalima f(t) stavlja u jednostavnije odnose i operacije nad slikama F(s) ^[1].

Povijest[uredi]

Laplaceova transformacija je nazvana u čast matematičara i astronoma Laplacea (Pierre-Simon Laplace, 23. ožujak 1749. – 5. ožujak 1827.) koji ju je koristio u okviru njegova rada unutar teorije vjerojatnosti. Istraživanja na tom području matematike započeo je još Euler (Leonhard Paul Euler, 15. travnja 1707. – 18. rujna 1783.) ispitujući integrale oblika:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle z=\int X(x)e^{ax}\,dx} and Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle z=\int X(x)x^{A}\,dx,}

kao rješenja diferencijalnih jednadžbi, no istraživanja nisu odmakla u smjeru nekih konačnih rezultata. Nastavljajući istraživanja Eulera, Lagrange (Joseph-Louis Lagrange, 25. siječnja 1736. – 10. travnja 1813.) je u svom radu istraživao integrale oblika:^[2].

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int X(x)e^{-ax}a^{x}\,dx,}

Ove vrste integrala su izgleda privukle Laplaceovu pažnju gdje je on slijedio Eulerova istraživanja upotrebljavajući same integrale kao rješenja jednadžbi. Međutim, tijekom 1785. godine Laplace je načinio ključni korak naprijed i, umjesto da samo traži rješenje u obliku integrala, počeo je primjenljivati transformaciju na način koji je kasnije postao prepoznatljiv i primjenljiv. Upotrijebio je integral oblika:

\int x^{s}\phi (s)\,dx,

srodan Mellinovoj transformaciji, da transformira cijelu diferencijalnu jednadžbu tražeći rješenje unutar tako transformirane jednadžbe.

Definicija[uredi]

Laplaceova transformacija funkcije f(t) definirane za sve realne brojeve t ≥ 0, je funkcija F(s), definirana sa:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}

gdje je parametar s kompleksni broj:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle s=\sigma +i\omega ,\,}

gdje su σ i ω realni brojevi.

Značenje integrala ovisi o vrsti funkcije koja se transformira. Za funkcije koje iščezavaju u beskonačnosti ili su eksponencijalnog tipa, integral se može shvatiti kao pravi integral. Međutim, za mnoge primjene ga valja smatrati uvjetno konvergentnim u ∞.

U namjeri da granice integracije jasno obuhvate i Diracovu delta funkciju, Laplaceova transformacija se često naznačuje kao:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle ({\mathcal {L}}f)(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}

gdje donja granica integracije označena kao 0⁻ znači

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.}

Ovaj limes naglašava da je vrijednost funkcije f(t) za t=0 obuhvaćena integralnom transformacijom.

Obostrana Laplaceova transformacija[uredi]

Kada se govori o Laplaceovoj transformaciji najčešće se podrazumijeva unilateralna ili jednostrana transformacija. Međutim, Laplaceova transformacija se može definirati i kao bilateralna ili dvostrana Laplaceova transformacija, proširujući granice integracije duž cijele realne osi. U tom slučaju jednostrana Laplaceova transformacija jednostavno postaje poseban slučaj dvostrane transformacije gdje se u definiciji transformirane funkcije uključuje množenje s Heavisideovom (Oliver Heaviside, 18. svibanj 1850. – 3. veljače 1925.) step funkcijom. Dvostrana Laplaceova transformacija je definirana kao:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}

Inverzna Laplaceova transformacija[uredi]

Inverzna Laplaceova transformacija je određena integralom:

f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds,

gdje je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \gamma } realan broj, tako da se integracija vrši u području konvergencije F(s), zahtjevajući da je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \gamma } > Re(s_p) za svaku singularnost s_p od F(s) i i² = −1. Ukoliko sve singularnosti leže na lijevoj polovici kompleksne ravnine, tada je Re(s_p) < 0 za svaki s_p, a Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \gamma } se može izjednačiti s nulom i gore prikazan integral u tom slučaju postaje jednak onomu koji nalazimo u inverznoj Fourierovoj transformaciji

Područje konvergencije[uredi]

Ukoliko je ƒ(t) lokalno integrabilna funkcija tada F(s) od ƒ konvergira apsolutno ako integral

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(t)e^{-ts}|\,dt}

postoji kao pravi integral. To, međutim, ovisi o ponašanju funkcije ƒ(t) i ukoliko funkcija ƒ(t) raste brže od bilo koje eksponencijalne funkcije integral koji definira Laplaceovu transformaciju može prestati postojati kao pravi integral.

Svojstva[uredi]

Laplaceova transformacija ima brojna svojstva koji je čine vrlo korisnom pri analizi linearnih dinamičkih sustava. Najznačajnija prednost je što diferencijacija i integracija u području vremena (original funkcije) postaju množenjem, odn. dijeljenjem sa s u području kompleksne frekvencije. Na taj se način diferencijalne, odn. integralne jednadžbe pretvaraju u jednadžbe s polinomima odgovarajućeg stupnja koje se mogu daleko lakše riješiti. Nađeno rješenje vraćamo inverznom Laplaceovom transformacijom natrag u domenu vremena. Navedimo neka svojstva Laplaceove transformacije.

Linearnost[uredi]

Neka su zadane funkcije f(t) i g(t) kao originali i njihove Laplaceovom transformacijom određene slike F(s) and G(s) tako da je:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}}

g(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}

Vrijedi da je Laplaceova transformacija sume jednaka sumi Laplaceovih transformacija:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)+g(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}}

te da je Laplaceova transformacija funkcije pomnožene konstantom jednaka umnošku te konstante s Laplaceovom transformacijom te funkcije:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{af(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}

te da se posljedično

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle af(t)+bg(t)\ } preslikava u Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle aF(s)+bG(s)\ }

Zaključujemo da je Laplaceova transformacija linearni operator što je lako ustanoviti na osnovi osnovnih pravila integriranja.

Diferenciranje u domeni vremena[uredi]

Diferenciranje u domeni vremena preslikava se u množenje sa s u domeni kompleksne frekvencije te vrijedi:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f'(t)\ } se preslikava u

sF(s)-f(0)\

a

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f''(t)\ } se preslikava u Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\ }

odnosno općenito:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f^{(n)}(t)\ } se preslikava u Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)\ }

Pretpostavlja se da je ƒ n-puta derivabilna s n-tom derivacijom eksponencijalnog oblika.

Diferenciranje u domeni kompleksne frekvencije[uredi]

Diferenciranje u domeni kompleksne frekvencije posljedica je množenja funkcije f(t) sa slobodnom varijablom t:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle tf(t)\ } se preslikava u

-F'(s)\

Može se shvatiti i obratno te je općenito množenje slobodnom varijablom t na n-tu potenciju jednako n-toj derivaciji funkcije F(s) prema predlošku:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle t^{n}f(t)\ } se preslikava u Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (-1)^{n}F^{(n)}(s)\ }

Množenje slobodne varijable konstantom[uredi]

Preslikava li se |Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f(t)} u Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle F(s)} lako je pokazati da se

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f(at)\ } preslikava u

{1 \over |a|}F\left({s \over a}\right)

Množenje eksponencijalnom funkcijom[uredi]

Množenje eksponencijalnom funkcijom u području vremena preslikava se kao pomak u domeni kompleksne frekvencije:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle e^{at}f(t)\ } se preslikava u Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle F(s-a)\ }

odnosno

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle e^{-at}f(t)\ } se preslikava u Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle F(s+a)\ }

Pomak u domeni vremena[uredi]

Pomak u domeni vremena preslikava se u prigušenje u području kompleksne frekvencije:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f(t-a)u(t-a)\ } se preslikava u

e^{-as}F(s)\

gdje je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(t)} Heavisideova step funkcija.

Primjene[uredi]

Elektrotehnika[uredi]

Laplaceova transformacija se često koristi u analizi električnih filtera i mreža posljedično jednostavnoj transformaciji električnih veličina u područje kompleksne frekvencije te se takvim elementima i signalima računa vrlo slično nalik računu s impedancijama u području kružne frekvencije Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j\omega\ } .

Na taj se način induktivitetu u domeni kompleksne frekvencije dodjeljuje kompleksna impedancija

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ sL } ,

a kapacitetu kompleksna impedancija

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{sC}}

dok radni otpor ima isti otpor

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ R }

i u domeni vremena i u domeni kompleksne frekvencije. Električni izvori se zajedno s početnim uvjetima (napon na nabijenom kondenzatoru, npr.) postavljaju u električki krug transformirani u područje kompleksne frekvencije prema dolje priloženoj tablici.

Primjer:

Kondenzator električnog kapaciteta C nabijen na napon U se u trenutku t=0 priključi na otpornik električnog otpora R. Prikažemo li početni uvjet (nabijen kondezator) nadomjestnim električkim izvorom konstantnog napona U, tada vrijedi da je

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U = I(s) (R+ \frac{1}{sC})}

iz čega se elementarnom matematikom dobiva da je

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I(s) = (\frac{U}{R})( \frac{1}{s+\frac{1}{RC}})}

Transformacijom iz područja kompleksne frekvencije u područje vremena lako se dobije da je

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I(t) = (\frac{U}{R}) e^{- \frac{1}{RC} t}u(t) }

Slično se postupa i sa složenijim mrežama i većim brojem petlji i čvorova gdje i u području kompleksne frekvencije vrijede Kirchhoffovi zakoni te Theveninov i Nortonov poučak.

Fizika[uredi]

Mogućnosti primjene u fizici su brojne, od analize linearnih mehaničkih dinamičkih sustava do svih analiza gdje valja na što jednostavniji način riješiti jednu, ili cijeli sustav linearnih diferencijalnih jednadžbi.

Primjer

U atomskoj fizici je broj raspada u jedinici vremena proporcionalan broju atoma nekog elementa u promatranom uzorku što možemo prikazati linearnom diferencijalnom jednadžbom prvog reda:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dN}{dt} = -\lambda N}

gdje je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \lambda } konstanta proporcionalnosti (konstanta radioaktivnog raspada) ovisna o svojstvima uzorka. Ovo je temeljna jednadžba radioaktivnog raspada gdje

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle N\ =\ N(t)}

predstavlja broj neraspadnutih preostalih atoma u uzorku u ovisnosti o vremenu t.

Prikazujući jednadžbu kao

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {dN}{dt}}+\lambda N=0.}

transformirati ćemo je u domenu kompleksne frekvencije:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \left(s{\tilde {N}}(s)-N_{o}\right)+\lambda {\tilde {N}}(s)\ =\ 0}

gdje je

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\tilde {N}}(s)={\mathcal {L}}\{N(t)\}}

i

N_{o}\ =\ N(0).

Rješavajući jednadžbu nalazimo

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\tilde {N}}(s)={N_{o} \over s+\lambda }.}

Konačno, inverznim postupkom vraćamo se u domenu vremena te nalazimo opće rješenje

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle N(t)\ ={\mathcal {L}}^{-1}\{{\tilde {N}}(s)\}={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {N_{o}}{s+\lambda }}\right\}}

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle =\ N_{o}e^{-\lambda t},}

što je zaista ispravna funkcija radioaktivnog raspada.

Najvažnije Laplaceove transformacije[uredi]

Tablica prikazuje Laplaceove transformacije u analizi linearnih dinamičkih sustava najčešće susretanih funkcija jedne varijable. Jednostrana Laplaceova transformacija razmatra funkcije čija se domena nalazi u isključivo u skupu pozitivnih realnih brojeva što je u tablici naznačeno množenjem svake funkcije s Heavisideovom step funkcijom u(t), a uz sljedeće napomene:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle u(t)\,} predstavlja Heavisideovu step funkciju

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \delta (t)\,} predstavlja Diracovu delta funkciju

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle t\,} je realni broj, uobičajeno predstavlja vrijeme

s\,

predstavlja kompleksnu kružnu frekvenciju gdje je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}} njezin realni dio

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \alpha \,} i Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \omega \,} su realni brojevi

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle n\,} je prirodni broj.

	Funkcija	Domena vremena Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{X(s)\right\}}	Domena kompleksne frekvencije Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}	Područje konvergencije
1	impuls	$\delta (t)\$	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 1}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathrm {sav} \ s\,}
2	impuls s kašnjenjem	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \delta (t-\tau )\ }	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle e^{-\tau s}\ }	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathrm {sav} \ s\,}
3	jedinična step funkcija	$u(t)\$	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {1 \over s}}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}
4	jedinična step funkcija s kašnjenjem	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle u(t-\tau )\ }	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {e^{-\tau s} \over s}}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}
5	prigušenje	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)\$	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {1 \over s+\alpha }}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>-\alpha \ }
6	linearna funkcija	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle t\cdot u(t)\ }	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}
7	potenciranje na n-tu ( za prirodni broj n )	${t^{n} \over n!}\cdot u(t)$	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {1 \over s^{n+1}}}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}
8	potenciranje s prigušenjem	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {t^{n}}{n!}}e^{-\alpha t}\cdot u(t)}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {1}{(s+\alpha )^{n+1}}}}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>-\alpha \,}
9	eksponencijalni pristup	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\$	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\ }
10	periodička funkcija sinus	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \sin(\omega t)\cdot u(t)\ }	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\ }
11	periodička funkcija cosinus	$\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {s \over s^{2}+\omega ^{2}}}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\ }
12	prigušena periodička funkcija sinusni oblik	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\ }	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>\alpha \ }
13	prigušena periodička funkcija cosinusni oblik	$e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}	Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>\alpha \ }

Literatura[uredi]

Blanuša D “Laplaceova transformacija”, Sveučilište u Zagrebu, ETF, 1963.
Ivanšić I. “Funkcije kompleksne varijable, Laplaceova transformacija”, Sveučilište u Zagrebu, ETF, 1978.
Day W.D. “Introduction to Laplace Transforms for Radio and Electronic Engineers”, Interscience Publishers Inc, 1960.

Izvori[uredi]

↑ Korn, G.A.; Korn, T.M. (1967), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (2nd ed.), McGraw-Hill Companies, ISBN 0-0703-5370-0
↑ Euler, L. (1744), "De constructione aequationum", Opera omnia, 1st series 22: 150-161 .

[1] Korn, G.A.; Korn, T.M. (1967), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (2nd ed.), McGraw-Hill Companies, ISBN 0-0703-5370-0

[2] Euler, L. (1744), "De constructione aequationum", Opera omnia, 1st series 22: 150-161 .

[1]

[2]