Hamiltonov operator

Hamiltonov operator [math]\displaystyle{ \nabla }[/math], što se izgovara kao nabla, je u trodimenzionalnom Kartezijevom koordinatnom sustavu R³ s koordinatama (x, y, z) definiran operatorima parcijalnih derivacija

[math]\displaystyle{ \nabla \equiv \hat{\mathbf{x}}\frac{\partial}{\partial x} + \hat{\mathbf{y}}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{\mathbf{z}}\frac{\partial}{\partial z}, }[/math]

gdje su [math]\displaystyle{ \{\mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}},\mathbf{\hat{z}} \} }[/math] jedinični vektori usmjereni kao koordinatne osi sustava.

Operator se često upotrebljava u fizici, u područjima od mehanike fluida do elektromagnetizma. Kada djeluje na skalarna polja, njime se dobije gradijent. Kada se zdesna skalarno množi s vektorskim poljem dobije se divergencija tog polja. Kada se zdesna vektorski množi s vektorskim poljem, dobije se rotacija polja. Hamiltonov operator skalarno pomnožen samim sobom daje Laplaceov operator za skalarna polja [math]\displaystyle{ \Delta\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\nabla^2 }[/math].

Definicija se može poopćiti i na n-dimenzionalni Euklidski prostor Rⁿ. U Kartezijevom koordinatnom sustavu s koordinatama (x₁, x₂, ..., x_n), operator [math]\displaystyle{ \nabla }[/math] se definira kao

[math]\displaystyle{ \nabla = \sum_{i=1}^n \hat e^i {\partial \over \partial x_i} }[/math]

gdje su [math]\displaystyle{ \{ \hat e^i: 1\leq i\leq n\} }[/math] jedinični vektori u tom prostoru.

U Einsteinovoj notaciji, gdje se po ponovljenim indeksima provodi zbrajanje, ta se definicija može kraće napisati kao

[math]\displaystyle{ \nabla = \hat e^i \,\partial_i }[/math] .