Eksponencijalna jednadžba

Jednadžba kod koje se nepoznata veličina nalazi na mjestu eksponenta neke potencije zove se eksponencijalna jednadžba.

Područje definicije

Eksponencijalna jednadžba je definirana za sve vrijednosti nepoznate veličine x iz domene realnih brojeva.

Jednostavna eksponencijalna jednadžba

Jednostavnijom eksponencijalnom jednadžbom možemo smatrati eksponencijalnu jednadžbu koja sadržava jedan član s nepoznatom veličinom u eksponentu neke potencije:

[math]\displaystyle{ 3^{2(x+1)} =81. \, }[/math]

Uvažavajući pravila o računanju s potencijama, uređivanjem obje strane jednadžbe nalazimo, redom:

[math]\displaystyle{ \begin{align} 3^{2(x+1)} & = 3^4 \\ 2(x+1) & = 4 \\ 2x+2 & = 4 \\ x & = 1 \\ \end{align} }[/math]

Složenije eksponencijalne jednadžbe

Složenije eksponencijalne jednadžbe sadrže veći broj članova gdje se nepoznata veličina nalazi u eksponentu neke potencije, gdje se jednadžba može pojaviti u brojnim oblicima i gdje svaka jednadžba u rješavanju može tražiti poseban postupak rješavanja.

Primjer 1

Zadana je eksponencijalna jednadžba:

[math]\displaystyle{ 4^{(x^2-x+1)} =8^x. }[/math]

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:

[math]\displaystyle{ \begin{align} 2^{2(x^2-x+1)} & = 2^{3x} \\ 2(x^2-x+1)& = 3x \\ 2x^2-2x+2& = 3x \\ 2x^2-5x+2& = 0 \\ \end{align} }[/math]

Rješavajući nađenu kvadratnu jednadžbu nalazimo da je x₁=2 i x₂=1/2, gdje oba rješenja udovoljavaju uvjetima koje postavlja početna eksponencijalna jednadžba.

Primjer 2

Zadana je eksponencijalna jednadžba oblika:

[math]\displaystyle{ {\bigg(\frac{3}{7}\bigg)}^{3x-7}- {\bigg(\frac{7}{3}\bigg)}^{7x-3} = 0 }[/math]

U sukladnosti s pravilima za računanje s potencijama nalazimo, redom:

[math]\displaystyle{ \begin{align} {\bigg(\frac{3}{7}\bigg)}^{3x-7}& = {\bigg(\frac{7}{3}\bigg)}^{7x-3} \\ {\bigg(\frac{3}{7}\bigg)}^{3x-7}& = {\bigg(\frac{3}{7}\bigg)}^{-7x+3} \\ 3x-7& = -7x+3 \\ 10x &= 10 \\ x&=1 \end{align} }[/math]

Primjer 3

Zadana je eksponencijalna jednadžba oblika:

[math]\displaystyle{ 3\cdot4^x + 2 \cdot9^x = 5\cdot 6^x }[/math]

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:

[math]\displaystyle{ \begin{align} 3\cdot 2^{2x} + 2 \cdot3^{2x} & = 5\cdot 2^x3^x /:(2^x 3^x) \\ 3\frac{2^x}{3^x} +2 \frac{3^x}{2^x } & = 5 \\ 3{\bigg(\frac{2}{3}\bigg)}^x +2{\bigg(\frac{3}{2}\bigg)}^x & =5 /supstitucija:{\bigg(\frac{2}{3}\bigg)}^x=y \\ 3y +2 \frac{1}{y }-5& = 0 / \cdot(y) \\ 3y^2 -5y +2 & = 0 \\ \end{align} }[/math]

Rješavajući nađenu kvadratnu jednadžbu po y nalazimo da je y₁=1 i y₂=4/6. Uzevši u obzir supstituciju gdje je (2/3)^x = y, dolazimo i do konačnog rješenja početne eksponencijalne jednadžbe gdje je x₁=0, a x₂=1.

Primjer 4

Zadana je eksponencijalna jednadžba oblika:

[math]\displaystyle{ 27^{(x^2-3x-3)} - {\bigg(\frac{1}{27}\bigg)}^x = 0 }[/math]

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:

[math]\displaystyle{ \begin{align} {3}^{3(x^2-3x-3)} & = 3^{-3x} \\ 3(x^2-3x-3)& = -3x \\ 3x^2 -9x -9 & = -3x \\ 3x^2-6x-9& = 0 /:(3) \\ x^2-2x-3& = 0 / \\ \end{align} }[/math]

gdje rješavajući nađenu kvadratnu jednadžbu nalazimo i rješenja zadane eksponencijalne jednadžbe x₁=3 te x₂=-1, gdje oba rješenja zadovoljavaju uvjetima početne eksponencijalne jednadžbe.

Literatura

• Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, 2006.